Enunciado

a) Obtenha equações gerais dos dois planos bissetores dos diedros determinados pelos planos π 1 : x - 2 y + 2 z - 1 = 0 e π 2 : 4 x + 3 y = 0 .

b) Confira o resultado obtido no item (a), mostrando que cada um dos planos encontrados contém a reta π 1 ∩ π 2 e forma ângulos congruentes com π 1 e π 2 .

c) Verifique que os planos bissetores são perpendiculares.

Passo 1

a) Para encontrarmos esses planos bissetores, basta encontrarmos o lugar geométrico de pontos X = ( x ,   y ,   z ) tais que

d X ,   π 1 = d X ,   π 2

Sabemos que a fórmula de distância entre um ponto B = ( e ,   f ,   g ) e um plano π ' :   a x + b y + c z + d = 0 é

d B ,   π ' = a . e + b . f + c . g + d a 2 + b 2 + c ²

Passo 2

Queremos:

d X ,   π 1 = d X ,   π 2

Sabendo que π 1 : x - 2 y + 2 z - 1 = 0 e π 2 : 4 x + 3 y = 0 , P = ( x ,   y ,   z ) , temos

1 . x - 2 . y + 2 . z - 1 1 2 + - 2 2 + 2 ² = 4 . x + 3 . y + 0 . z 4 2 + 3 ²

x - 2 y + 2 z - 1 9 = 4 x + 3 y 25

x - 2 y + 2 z - 1 3 = 4 x + 3 y 5

Multiplicando em cruz:

5 x - 2 y + 2 z - 1 = 3 4 x + 3 y

Daí temos dois lugares geométricos, pois estamos lidando com módulos hehe

Vamos calcular primeiro para tudo sem sinal negativo:

5 . ( x - 2 y + 2 z - 1 ) = 3 ( 4 x + 3 y )

5 x - 10 y + 10 z - 5 = 12 x + 9 y

p 1 : 7 x + 19 y - 10 z + 5 = 0

Agora com sinal negativo:

- 5 . ( x - 2 y + 2 z - 1 ) = 3 ( 4 x + 3 y )

- 5 x + 10 y - 10 z + 5 = 12 x + 9 y

p 2 : 17 x - y + 10 z - 5 = 0

Ebaaa, encontramos nossos planos bissetores dos diedros: p 1 e p 2 .

Na figura abaixo, em azul temos os planos π 1 e π 2 e em vermelho temos p 1 e p 2 :

Passo 3

b) Primeiro vamos encontrar a reta π 1 ∩ π 2 , ela é a intersecção de π 1 com π 2 , então:

r :   x - 2 y + 2 z - 1 = 0   4 x + 3 y = 0

Da segunda equação, temos

x = - 3 y 4

Substituindo na primeira:

- 3 y 4 - 2 y + 2 z - 1 = 0

- 3 4 y - 8 4 y + 2 z - 1 = 0

- 11 4 y + 2 z - 1 = 0

2 z = 11 4 y + 1

z = 11 8 y + 1 2

Então nossa reta tem o formato:

x ,   y ,   z = - 3 y 4 ,   y , 11 y 8 + 1 2

r : X = 0 ,   0 , 1 2 + λ - 3 4 , 1 ,   11 8

Passo 4

Agora vamos provar que a reta r : X = 0 ,   0 , 1 2 + λ - 3 4 , 1 ,   11 8

está contida tanto no plano p 1 como no plano p 2 , pois isso é uma das condições para eles serem planos bissetores hahaha

Vamos começar por p 1 : 7 x + 19 y - 10 z + 5 = 0 : primeiramente, o seu vetor normal n 1 → = 7 ,   19 ,   - 10 deve ser perpendicular ao vetor diretor r → = - 3 4 ,   1 , 11 8 , porque a reta deve ser antes de tudo paralela ao plano, que é perpendicular ao vetor normal, sacou? Hahaha ou seja, vamos ver se o produto escalar entre eles realmente vale 0, já que isso é uma condição para dois vetores serem perpendiculares:

n 1 → . r →

7 ,   19 ,   - 10 . - 3 4 ,   1 , 11 8

- 21 4 + 19 - 110 8

- 21 4 + 19 - 55 4

- 76 4 + 19

- 19 + 19

n 1 → . r → = 0

Boaa, já temos que a reta é paralela ao vetor, agora é só substituir um ponto da reta na equação do plano p 1 pra ver se ela está contida nele. Substituindo o ponto 0 ,   0 , 1 2 :

p 1 : 7 x + 19 y - 10 z + 5 = 0

7.0 + 19.0 - 10 2 + 5 = 0

- 5 + 5 = 0

0 = 0

Ebaaa, se um ponto da reta r está no plano p 1 e ela é paralela a esse plano, então todos os seus pontos estarão contidos nele, ou seeeja: a reta está contida em p 1 !!

Passo 5

Também vamos provar que a reta r : X = 0 ,   0 , 1 2 + λ - 3 4 , 1 ,   11 8 está contida no plano p 2 : 17 x - y + 10 z - 5 = 0 , nosso outro plano bissetor.

Vamos fazer igual fizemos para p 1 : primeiro vamos verificar se n 2 → = ( 17 ,   - 1 ,   10 ) (vetor normal de p 2 ) é perpendicular a r → = - 3 4 ,   1 , 11 8 :

n 2 → . r →

17 ,   - 1 ,   10 . - 3 4 ,   1 , 11 8

- 51 4 - 1 + 110 8

- 51 4 - 1 + 55 4

4 4 - 1

1 - 1

n 2 → . r → = 0

Belezinha, então a reta r também é paralela ao plano p 2 .

Agora vamos substituir seu ponto 0 ,   0 , 1 2 nesse plano pra provar que além de ser paralela a p 2 , ela está contida nele:

p 2 : 17 x - y + 10 z - 5 = 0

17.0 - 0 + 10 2 - 5 = 0

5 - 5 = 0

0 = 0

Ihuuu, então provamos que a reta r está contida nos planos p 1 e p 2 :)

Passo 6

Hora de provar que os planos   p 1 : 7 x + 19 y - 10 z + 5 = 0 e p 2 : 17 x - y + 10 z - 5 = 0   formam os mesmos ângulos com π 1 : x - 2 y + 2 z - 1 = 0 e π 2 : 4 x + 3 y = 0 .

Temos os vetores normais:

p 1 :   n 1 → = 7 ,   19 ,   - 10

p 2 :   n 2 → = 17 ,   - 1 ,   10

π 1 :   n 3 → = 1 ,   - 2 ,   2

π 2 :   n 4 → = 4 ,   3 ,   0

Vamos provar que tanto n 1 → quanto n 2 → formam os mesmos ângulos com n 3 → e n 4 →

Primeiro para n 1 → : seja θ o ângulo entre n 1 → e n 3 → :

cos ⁡ θ = n 1 → . n 3 → n 1 → . n 3 →

cos ⁡ θ = 7 ,   19 ,   - 10 . ( 1 ,   - 2 ,   2 ) 7 2 + 19 2 + ( - 10 ) ² . 1 2 + - 2 2 + 2 ²

cos ⁡ θ = - 51 3 510

cos ⁡ θ = - 17 510

Agora seja o ângulo entre n 1 → e n 4 → :

cos ⁡ ∅ = n 1 → . n 4 → n 1 → . n 4 →

cos ⁡ ∅ = 7 ,   19 ,   - 10 . ( 4 ,   3 ,   0 ) 7 2 + 19 2 + ( - 10 ) ² . 4 2 + 3 ²

cos ⁡ ∅ = 85 5 510

cos ⁡ ∅ = 17 510

Portantoo, como os módulos dos cossenos de θ e são iguais, n 1 → forma o mesmo ângulo com n 3 → e n 4 → !!

Passo 7

Agora para n 2 → : seja α o ângulo entre n 2 → e n 3 → :

cos ⁡ α = n 2 → . n 3 → n 2 → . n 3 →

cos ⁡ α = 17 ,   - 1 ,   10 . ( 1 ,   - 2 ,   2 ) 17 2 + - 1 2 + 10 ² . 1 2 + - 2 2 + 2 ²

cos ⁡ α = 39 3 390

cos ⁡ θ = 13 390

Agora seja β o ângulo entre n 2 → e n 4 → :

cos ⁡ β = n 3 → . n 4 → n 3 → . n 4 →

cos ⁡ β = 17 ,   - 1 ,   10 . ( 4 ,   3 ,   0 ) 17 2 + - 1 2 + 10 ² . 4 2 + 3 ²

cos ⁡ β = 6 5 5 510

cos ⁡ β = 13 510

Portantoo, como os módulos dos cossenos de α e β são iguais, n 2 → forma o mesmo ângulo com n 3 → e n 4 → !!

Por fimmm, provamos que os planos p 1 e p 2 são realmente planos bissetores dos diedros de π 1 e π 2 :D

Passo 8

c) Agora basta provarmos que n 1 → = 7 ,   19 ,   - 10 e n 2 → = 17 ,   - 1 ,   10 são perpendiculares verificando se o produto escalar entre eles é 0:

7 ,   19 ,   - 10 . ( 17 ,   - 1 ,   10 )

119 - 10 - 100

100 - 100

n 1 → . n 2 → = 0

Então, os planos p 1 e p 2 são perpendiculares mesmo hahaha

Resposta

a) p 1 : 7 x + 19 y - 10 z + 5 = 0

p 2 : 17 x - y + 10 z - 5 = 0

b) Demonstração

c) Demonstração

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Dê a interpretação geométrica de cada família de planos.(a) x + y + z = c (b) x + y + c z = 1 (c) y cos ⁡ θ + zs e nθ = 1
Se a , b e c não são todos nulos, mostre que a equação a x + b y + c z + d = 0 representa um plano e a ,b ,c é o vetor normal ao plano.Sugestão: Suponha a ≠ 0 e reescreva a equação na forma a x + d a
Utilize a fórmula que aparece no exercício 43 da seção 12.4 para determinar a distância do ponto à reta dada. 4,1 , - 2 ; x = 1 + t , y = 3 - 2 t ,z = 4 - 3 t
b) Encontre a distância da origem ao plano π .
Ache os pontos do plano π : y = x que equidistam dos pontos A = ( 1,1 , 0 ) e B = ( 0,1 , 1 ) .