Enunciado

Mostre que os pontos A = - 2,0 , 1 , B = 0,0 , - 1 , C = 1,1 , 1 , D = - 2 , - 1 , - 2 e E = 1,2 , 2 são vértices de uma pirâmide e calcule seu volume.

Passo 1

Tudo o que precisamos fazer aqui é: encontrar quatro pontos que formem um quadriáletro convexo plano. E depois mostrar que o quinto ponto não pertence a esse plano.

Se fizermos isso, então provamos que dá pra construir uma pirâmide com esses pontos!

Ok, então vamos começar procurando quatro pontos que sejam coplanares. Se os pontos A , B , C e D são coplanares, então:

A B → , B C → , C D →   é   L D

E se esse conjunto é L D , então esse determinantes aqui é nulo:

A B → 1 A B → 2 A B → 3 B C → 1 B C → 2 B C → 3 C D → 1 C D → 2 C D → 3 = 0

Vamos testar isso para os pontos que o enunciado deu:

A B → = 0,0 , - 1 - - 2,0 , 1 = 2,0 , - 2

B C → = 1,1 , 1 - - 2,0 , 1 = 3,1 , 0

C D → = - 2 , - 1 , - 2 - 1,1 , 1 = - 3 , - 2 , - 3

Substituindo isso na matriz e calculando o determinante:

2 0 - 2 3 1 0 - 3 - 2 - 3 = - 6 + 0 + 12 - 6 + 0 + 0 = 0

Então os vetores são coplanares!

Passo 2

Beleza, então agora vamos encontrar a equação do plano formado por esses três vetores.

Pra isso primeiro precisamos definir um ponto qualquer P = x , y , z , e então calcular esse produto misto:

A P → ∙ A B → × A C → = x + 2 y z - 1 2 0 - 2 3 1 0 = 0

Onde os pontos foram calculados assim!

A P → = x , y , z - - 2,0 , 1 = x + 2 , y , z - 1

A B → = 0,0 , - 1 - - 2,0 , 1 = 2,0 , - 2

A C → = 1,1 , 1 - - 2,0 , 1 = 3,1 , 0

Perceba que nem precisamos usar o ponto D na conta! Já provamos que ele também pertence ao plano que passa por A , B e C .

Agora vamos resolver aquele determinante:

x + 2 y z - 1 2 0 - 2 3 1 0 = 0

0 - 6 y + 2 z - 1 - 0 + - 2 x + 2 + 0 = 0

- 6 y + 2 z - 2 + 2 x + 4 = 0

2 x - 6 y + 2 z + 2 = 0

E agora é só provar que o ponto E não percente a esse plano. O ponto E é:

E = 1,2 , 2

Substituindo as coordenadas na equação do nosso plano:

2 x - 6 y + 2 z + 2

2 1 - 6 2 + 2 2 + 2 = - 4

O resultado não foi zero, e portanto E não está no plano.

Passo 3

Ok, então até aqui já provamos que A , B , C e D pertencem a um plano em que E não está!

Para garantir que isso forma uma pirâmide, ainda faltaria provar que os vetores entre A , B , C e D não são paralelos! Mas isso vai aparecer naturalmente quando a gente for calcular o volume.

Vamos fazer um desenho muito simplificado da nossa pirâmide:

Antes de calcular o volume, precisamos descobrir se a base realmente tem essa forma no desenho, ou se a ordem dos pontos é diferente.

Pra isso vamos calcular a distância do ponto C até os outros três:

d C , A = 1 - - 2 2 + 1 - 0 2 + 1 - 1 2 = 10

d C , B = 1 - 0 2 + 1 - 0 2 + 1 - - 1 2 = 6

d C , D = 1 - - 2 2 + 1 - - 1 2 + 1 - - 2 2 = 22

O ponto mais distante de C é D , então podemos supor que C e D formam uma diagonal!

Com essa nova informação, vamos refazer nosso desenho:

Passo 4

Agora como a gente pode calcular o volume dessa pirâmide? É só dividir em dois tetraedros!

O primeiro tetraedro é formado pelos vetores D A → , D B → e D E → :

D A → = - 2,0 , 1 - - 2 , - 1 , - 2 = 0,1 , 3

D B → = 0,0 , - 1 - - 2 , - 1 , - 2 = 2,1 , 1

D E → = 1,2 , 2 - - 2 , - 1 , - 2 = 3,3 , 4

Vamos desenhar para entender melhor. Agora estamos calculando o volume da metade esquerda:

Agora é só usar a fórmula do volume do tetraedro:

V 1 = 1 6 D E → ∙ D B → × D A → = 1 6 3 3 4 2 1 1 0 1 3 = 1 6 - 4 = 2 3

E a outra metade é formada pelos seguintes vetores:

C A → = - 2,0 , 1 - 1,1 , 1 = - 3 , - 1,0

C B → = 0,0 , - 1 - 1,1 , 1 = - 1 , - 1 , - 2

C E → = 1,2 , 2 - 1,1 , 1 = 0,1 , 1

Então:

V 2 = 1 6 C E → ∙ C B → × C A → = 1 6 0 1 1 - 1 - 1 - 2 - 3 - 1 0 = 1 6 4 = 2 3

Somando essas duas partes:

V = V 1 + V 2

V = 2 3 + 2 3 = 4 3

Ou seja, os pontos formam uma pirâmide de volume igual a 4 / 3 .

Resposta

Os pontos formam uma pirâmide de volume 4 / 3 .

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