Enunciado

Sejam A = ( - 1 ,   0 ,   0 ) , B = ( 2 ,   - 1 ,   - 1 ) , C = ( 0 ,   3 ,   1 ) e D = ( 4 ,   5 ,   1 ) .

a) Mostre que esses pontos são vértices de um quadrilátero plano.

b) Mostre que o quadrilátero do item (a) é convexo (um quadrilátero plano é convexo se nenhuma das retas que contêm seus lados separa os outros dois vértices, o que equivale a nenhum de seus vértices ser interior ao triângulo determinado pelos outros três).

c) Sabe-se da Geometria Plana que a reta que contém uma diagonal qualquer de um quadrilátero convexo separa os outros dois vértices. Utilize essa propriedade e do Exercício Resolvido 6-16 para descobrir quais são os lados e quais são as diagonais do quadrilátero do item (a).

Passo 1

Para provar que os pontos são vértices de um quadrilátero plano, basta mostrar que os vetores   A B → ,   A C → e   A D → estão num mesmo plano. Para isso, basta mostrar que eles são LD.

As coordenadas desses vetores são

A B → = B - A = ( 3 ,   - 1 ,   - 1 )

A C → = C - A = ( 1 ,   3 ,   1 )

A D → = D - A = ( 5 ,   5 ,   1 )

Assim,

3 - 1 - 1 1 3 1 5 5 1 = 3 ⋅ 3 - 5 + 1 ⋅ 1 - 5 - 1 ⋅ 5 - 15 = - 6 - 4 + 10 = 0

Assim os vetores são LD e estão no mesmo plano. Provamos assim, que A , B , C e D são vértices de um quadrilátero plano.

Passo 2

No exercício 5-5 provamos que um ponto X é interior ao triângulo de vértices A , B e C se, e somente se,   C X → = α   C A → + β   C B → , com α > 0 , β > 0 e α + β < 1 .

É isso que temos que fazer no item (b), provar que cada um dos vértices não é ponto interior do triângulo formado pelos outros três. Vamos fazer isso com ponto D :

C D → = D - C = ( 4 ,   2 ,   0 )

C A → = A - C = ( - 1 ,   - 3 ,   - 1 )

C B → = B - C = ( 2 ,   - 4 ,   - 2 )

Escrevendo

C X → = α   C A → + β   C B → ⇒ 4 ,   2 ,   0 = ( - α + 2 β ,   - 3 α - 4 β ,   - α - 2 β )

Assim,

- α + 2 β = 4 - 3 α - 4 β = 2 - α - 2 β = 0

Da terceira equação tiramos que

α = - 2 β

Substituindo na primeira equação:

2 β + 2 β = 4 ⇒ β = 4 4 ⇒ α = - 2

Note que como α < 0 , D não é ponto interior do triângulo A B C . Isso acontece com todos os vértices desse quadrado, de modo que ele é convexo!

Passo 3

Agora vamos para o item (c). Note que

A D → = A B → + 2   A C →

Fazendo um desenho:

Ligando os pontos, obtemos o quadrilátero:

Os lados são: A C , C D , D B e B A . As diagonais: A D e B C .

Resposta

Demonstração.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Se o sistema é ortogonal, quais são as coordenadas dos pontos simétricos de P = ( x ,y ,z ) em relação a cada plano coordenado.
Sejam A = ( 1 ,6 ,4 ) , B = ( 2 ,- 1 ,9 ) , C = ( 1 ,1 ,- 1 ) e D = ( 1 ,1 ,a ) . Para que valores de a esses pontos são vértices de um quadrilátero? Este quadrilátero é plano ou reverso?
O quadrilátero A B C D é convexo. Sabendo que 4C D → = - 3C A → + C B → , diga quais são suas diagonais e quais são seus lados.
Na Figura 13-3, A B C D E F G H é um paralelepípedo. Sejam e → 1 = A B → , e → 2 = A C → e e → 3 = A F → . Determine as coordenadas dos pontos A , B , C , D , E , F , G e H nos seguintes sistemas de c
Suponha que o sistema de coordenadas seja ortogonal, e que P 1 , P 2 , P 3 , P 4 , P 5 e P 6 sejam, respectivamente, as projeções ortogonais de P = ( x ,y ,z ) sobre O x y , O x z , O y z , O x , O y