Enunciado

O que pode ser dito sobre dois vetores não nulos u → e v → que satisfazem a equação u + v = u + | v | ?

Passo 1

Dada a equação:

u → + v → = u → + v →

Podemos elevar ambos os lados ao quadrado:

u → + v → 2 = u → 2 + 2 u → ⋅ v → + v → 2

Vamos separar em produtos vetoriais:

v → + u → v → + u → = v → ⋅ v → + 2 u → ⋅ v → + u → ⋅ u →

Aplicamos a propriedade distributiva:

v → ⋅ v → + 2 u → ⋅ v → + u → ⋅ u → = v → ⋅ v → + 2 u → ⋅ v → + u → ⋅ u →

Simplificando temos:

2 u → ⋅ v → = 2 u → ⋅ v →

u → ⋅ v → = u → ⋅ v →

Podemos escrever este resultdo da seguinte forma:

“Para que a norma da soma de dois vetores seja igual a soma das normas, então o produto escalar dos vetores deve ser igual ao produto das normas.”

Passo 2

Agora vamos olhar mais um pouco o resultado:

u → ⋅ v → = u → ⋅ v →

E vamos dividir os dois lados por u → ⋅ v →

u → ⋅ v → u → ⋅ v → = u → ⋅ v → u → ⋅ v →

Simplificando:

u → ⋅ v → u → ⋅ v → = 1

A expressão do lado esquerdo representa o ângulo entre os vetores: cos ⁡ θ = u → ⋅ v → u → ⋅ v → .

Então podemos dizer que:

cos ⁡ θ = 1

θ = 0

O resultado pode ser expresso em palavras da seguinte forma:

“Para que a norma da soma de dois vetores seja igual a soma das normas, então os vetores devem ser paralelos entre si.”

Resposta

Da expressão u → + v → = u → + v → podemos tirar duas conclusões:

  • Produto escalar dos vetores deve ser igual ao produto das normas: u → ⋅ v → = u → ⋅ v →
  • Os vetores são paralelos entre si: u → ∥ v →
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18. Determine se a expressão faz sentido matemático. Se não fizer, explique. (a) | | u | | · | | v | | (b) u · v - w (c) u · v - k (d) k ⋅ u
Se ‖ v ‖ = 2 e w = 3 , quais são os maiores e menores valores possíveis de ‖ v - w ‖ ? Interprete seu resultado geometricamente.
Em cada parte, encontre um vetor unitário de mesma direção e sentido oposto ao do vetor. (a) ( - 12 ,- 5 ) (b) ( 3 ,- 3 ,- 3 ) (c) - 6 ,8 (d) ( - 3 ,1 ,6 , 3 )
Verifique a validade da desigualdade de Cauchy-Schwarz. (a) u = 3 ,2 ,v = ( 4 ,- 1 ) (b) u = - 3 ,1 ,0 ,v = ( 2 ,- 1 ,3 ) (c) u = 0 ,2 ,2 ,1 ,v = ( 1 ,1 ,1 ,1 )
Em cada parte, encontre um vetor de mesma direção e sentido do vetor. (a) ( - 4 ,- 3 ) (b) ( 1 ,7 ) (c) - 3 ,2 ,3 (d) ( 1 ,2 ,3 ,4 ,5 )