Enunciado

Sabendo que a matriz de uma transformação linear T :   R 2 → R 3 nas bases A = - 1 ,   1 ,   1 ,   0 do R 2 e B = 1 ,   1 ,   - 1 ,   2 ,   1 ,   0 ,   3 ,   0 ,   1 do R 3 é:

T B A = 3 1 2 5 1 - 1

Encontrar a expressão de T ( x , y ) e a matriz [ T ] .

Passo 1

A questão fornece a matriz de transformação linear entre duas bases A e B e pede para encontrarmos uma expressão T ( x , y ) para essa transformação.

Sabemos que as colunas da matriz representam o vetores da base A transformados, escritos na base B , isto é,

T - 1 ,   1 = 3 ,   2 ,   1 B

T 1 ,   0 = 1 ,   5 ,   - 1 B

Precisamos escrever esses vetores na base canônica!

Passo 2

Como a base B é dada por B = 1 ,   1 ,   - 1 ,   2 ,   1 ,   0 ,   3 ,   0 ,   1 , temos que

T - 1   , 1 = 3   1 ,   1 , - 1 + 2   2 ,   1 ,   0 + 1   3 ,   0 ,   1 = ( 10 ,   5 ,   - 2 )

T 1 ,   0 = 1   1 ,   1 , - 1 + 5   2 ,   1 ,   0 - 1   3 ,   0 ,   1 = ( 8 ,   6 ,   - 2 )

Agora precisamos achar T ( 1 ,   0 ) e T ( 0 ,   1 ) . O primeiro nós já temos, Para achar o segundo, note que

T - 1 ,   1 = - T 1 ,   0 + T 0 ,   1 = ( 10 ,   5 , - 2 )

Assim,

T 0 ,   1 = 10,5   , - 2 + T 1 ,   0 = 10 ,   5 , - 2 + 8 ,   6 ,   - 2 = ( 18 ,   11 ,   - 4 )

Passo 3

Assim, temos que

T x , y = x   T 1 ,   0 + y   T ( 0 ,   1 )

Logo,

T x , y = x 8 ,   6 ,   - 2 + y ( 18 ,   11 ,   - 4 )

Portanto,

T x , y = ( 8 x + 18 y , 6 x + 11 y , - 2 x - 4 y )

Como T 1 ,   0 = ( 8 ,   6 ,   - 2 ) e T 0 ,   1 = ( 18 ,   11 , - 4 ) estão na base canônica, ele serão as colunas da matriz [ T ] :

T = 8 18 6 11 - 2 - 4

Resposta

T x , y = ( 8 x + 18 y , 6 x + 11 y , - 2 x - 4 y )

T = 8 18 6 11 - 2 - 4

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