Enunciado

Seja T :   R 2 → R 3 uma transformação linear com matriz

T B ' B = 1 - 1 0 1 - 2 3

para B = { e 1 ,   e 2 } , base canônica do R 2 , e B ' = { 1 ,   0 ,   1 ,   - 2 ,   0 ,   1 ,   0 ,   1 ,   0 } , base do R 3 . Qual a imagem do vetor ( 2 ,   - 3 ) pela T ?

Passo 1

O problema nos dá uma matriz de transformação linear entre as bases B e B ' , em que B é uma base canônica. Queremos saber a imagem do vetor v = ( 2 , - 3 ) pela transformação.

Como a base do espaço de saída é a base canônica, temos que

v = 2 , - 3 B

Para calcular a transformação sobre esse vetor, bas fazer o produto de matrizes:

T v B ' = T B ' B   v B

Assim,

T v B ' = 1 - 1 0 1 - 2 3 ⋅ 2 - 3 = 5 - 3 - 13

Passo 2

Temos então que

T 2 ,   - 3 = 5 ,   - 3 , - 13 B '

Como a base B ' é dada por B ' = { 1 ,   0 ,   1 ,   - 2 ,   0 ,   1 ,   0 ,   1 ,   0 } , temos que

T 2 , - 3 = 5   1 ,   0 ,   1 - 3   - 2 ,   0 ,   1 - 13   ( 0 ,   1 ,   0 )

Logo,

T 2 , - 3 = ( 11 ,   - 13 ,   2 )

Resposta

T 2 , - 3 = ( 11 ,   - 13 ,   2 )

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Conforme indicado na figura, seja T : R 2 → R 2 a projeção ortogonal na reta y = x .Encontre o núcleo de T . T será injetora? Justifique sua resposta.
Prove: só pode haver alguma transformação linear de V sobre W se dim ⁡ V ≥ dim ⁡ W .
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Em cada parte, use a informação dada para determinar se a transformação linear T é injetora. T : R m → R m ; n u l T = 0 . T : R n → R n : p o s T = n - 1 . T : R m → R n ; nm . T : R n → R n ; R T =