Enunciado

Determinar o ângulo entre as seguintes retas:

a) r 1 : x = - 2 - t y = t z = 3 - 2 t e r 2 : x 2 = y + 6 1 = z - 1 1

b) r 1 : y = - 2 x + 3 z = x - 2 e r 2 : y = z + 1 - 1 ; x = 4

c) r 1 : x = 1 + 2 t y = t z = 5 - 3 t e r 2 : x = 3 y = 2

d) r 1 : x - 4 2 = y - 1 = z + 1 - 2 e r 2 : x = 1 y 4 = z - 2 3

Passo 1

E aí? Bora matar mais essa?

Vamos começar determinando os vetores das duas retas.

O vetor será formado pelos coeficientes de t , então temos para reta 1 :

2 , 1 , - 3

E temos como vetor da reta 2:

0,0 , 1

Obs. Como não temos um valor ou uma equação para z , dizemos que z = z , e igualando a t , temos que o coeficiente será 1 .

Molezinha, não?

Passo 2

Para determinarmos o ângulo, vamo usar:

u ∙ v = u v cos ⁡ θ

Bora obter o ângulo?

Para isso vamos calcular por partes:

u ∙ v = 2 , 1 , - 3 ∙ 0,0 , 1

u ∙ v = 0 + 0 - 3

u ∙ v = - 3

u v = 2 2 + 1 2 + - 3 2 ∙ 0 2 + 0 2 + 1 2

u v = 12 ∙ 1

u v = 12 = 2 3

Substituindo, temos:

- 3 = 2 3 cos ⁡ θ

Isolando cos ⁡ θ :

cos ⁡ θ = - 3 2 3

Multiplicando pelo conjugado, temos:

cos ⁡ θ = - 3 2 3 ∙ - 2 3 - 2 3

cos ⁡ θ = 6 3 - 12

Simplificanado por 6 :

cos ⁡ θ = 3 - 2

θ = cos - 1 ⁡ 3 - 2

θ = 150 °

Outro ângulo possível é o complementar de 150 que é

θ = 180 - 150 = 30 °

Arrasamos!!!!!!

Agora faltam apenas uma, bora resolve-las?

Resposta

θ = 150 °   o u     30 °

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determinar o ângulo que a reta que passa por A = ( 3 , - 1,4 ) E B = ( 1,3 , 2 ) forma com a sua projeção sobre o plano x y .
Determinar o ângulo entre as seguintes retas:a) r 1 : x = - 2 - t y = t z = 3 - 2 t e r 2 : x 2 = y + 6 1 = z - 1 1 b) r 1 : y = - 2 x + 3 z = x - 2 e r 2 : y = z + 1 - 1 ; x = 4 c) r 1 : x = 1 + 2 t
Determinar o valor de n para que seja de 30 ° o ângulo entre as retasa) r 1 : x - 2 4 = y 5 = z 3 e r 2 : y = n x + 5 z = 2 x - 2 b) r 1 : y = n x - 1 z = 2 x e r 2 : eixoO y
Determinar o ângulo entre as seguintes retas:a) r 1 : x = - 2 - t y = t z = 3 - 2 t e r 2 : x 2 = y + 6 1 = z - 1 1 b) r 1 : y = - 2 x + 3 z = x - 2 e r 2 : y = z + 1 - 1 ; x = 4 c) r 1 : x = 1 + 2 t