Enunciado

Determinar o valor de n para que seja de 30 ° o ângulo entre as retas

a) r 1 : x - 2 4 = y 5 = z 3 e r 2 : y = n x + 5 z = 2 x - 2

b) r 1 : y = n x - 1 z = 2 x e r 2 : eixo   O y

Passo 1

E aí? Bora matar mais essa?

Vamos começar determinando os vetores das duas retas.

Para reta 1 , vamos isolar x em ambas as equações:

y = n x - 1 z = 2 x

n x = y - 1 2 x = z

x = y - 1 n x = z 2

Agora vamos igualar a t , separar três equações, e isolar x , y , z :

x = y - 1 n = z 2 = t

x = t y - 1 n = t z 2 = t

y - 1 = n t z = 2 t

y = 1 + n t

Temos como vetor da reta 1 :

1 , n , 2

Para reta 2 , no eixo O y temos como equação:

x = 0 z = 0

Temos como vetor da reta 2 :

0 , 1 , 0

Obs. Como não temos um valor ou uma equação para y , dizemos que y = y , e igualando a t , temos que o coeficiente será 1 .

Molezinha, não?

Passo 2

Para determinarmos o ângulo, vamo usar:

u ∙ v = u v cos ⁡ θ

Bora obter o ângulo?

Para isso vamos calcular por partes:

u ∙ v = 1 , n , 2 ∙ 0,1 , 0

u ∙ v = n

u v = 1 2 + n 2 + 2 2 ∙ 0 2 + 1 2 + 0 2

u v = n 2 + 5 ∙ 1

u v = n 2 + 5

Substituindo, temos:

n = n 2 + 5 cos ⁡ 30

n = n 2 + 5 ∙ 3 2

Multiplicando ambos os lados por 2 :

2 n = 3 n 2 + 1 5

Elevando toda equaçãoa o quadrado:

2 n 2 = 3 n 2 + 15 2

4 n 2 = 3 n 2 + 15

4 n 2 - 3 n 2 = 15

n 2 = 15

Elevando toda equação por 1 2 n :

n = ± 15

Mandamos bem!!!

Bora para outra?

Resposta

n = ± 15

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A reta definida pelas equações paramétricas x=2 t+7 , y=3 t+8 forma um ângulo agudo α com reta 5 x+11 y=6 . Determine α .
Seja α um dos ângulos formados pelas retas a x+b y=c e y=p x+q . Dê uma expressão para | cos ⁡ α | .
Seja α o ângulo entre o eixo O X e a reta a x+b y=c . Determine | cos ⁡ α | .
Escreva, sob a forma a x+b y=c , a equação da reta que passa pela origem e faz um ângulo de 45 ° com a reta x 2 + y 3 2 = 1 .
Obtenha os vértices B e C do triangulo equilátero ABC, sendo A = (1, 1, 0) e sabendo que o lado BC está contido na reta r : (x, y, z) = t(0, 1, −1). (Sugestão: Determine os pontos P r da reta r tais q