Enunciado

Determinar o ângulo entre as seguintes retas:

a) r 1 : x = - 2 - t y = t z = 3 - 2 t e r 2 : x 2 = y + 6 1 = z - 1 1

b) r 1 : y = - 2 x + 3 z = x - 2 e r 2 : y = z + 1 - 1 ; x = 4

c) r 1 : x = 1 + 2 t y = t z = 5 - 3 t e r 2 : x = 3 y = 2

d) r 1 : x - 4 2 = y - 1 = z + 1 - 2 e r 2 : x = 1 y 4 = z - 2 3

Passo 1

E aí? Bora matar mais essa?

Vamos começar determinando os vetores das duas retas.

Para reta 1 , vamos isolar x em ambas as equações:

y = - 2 x + 3 z = x - 2

- 2 x = y - 3 x = z + 2

x = y - 3 - 2

Agora vamos escrever:

x = y - 3 - 2 = z + 2 1

Agora vamos igualar a t , separar três equações, e isolar x , y , z :

x = y - 3 - 2 = z + 2 1 = t

x = t y - 3 - 2 = t z + 2 1 = t

y - 3 = - 2 t z + 2 = t

y = 3 - 2 t z = - 2 + t

O vetor será formado pelos coeficientes de t , então temos para reta 1 :

1 , - 2,1

Para reta 2 , vamos apenas igualar a equação de y a t :

y = z + 1 - 1 = t

x = 4 y = t z + 1 - 1 = t

z + 1 = - t

z = - 1 - t

Temos como vetor da reta 2:

0,1 , - 1

Molezinha, não?

Passo 2

Para determinarmos o ângulo, vamo usar:

u ∙ v = u v cos ⁡ θ

Bora obter o ângulo?

Para isso vamos calcular por partes:

u ∙ v = 1 , - 2,1 ∙ 0,1 , - 1

u ∙ v = 0 - 2 - 1

u ∙ v = - 3

u v = 1 2 + - 2 2 + 1 2 ∙ 0 2 + 1 2 + - 1 2

u v = 6 ∙ 2

u v = 12 = 2 3

Substituindo, temos:

- 3 = 2 3 cos ⁡ θ

Isolando cos ⁡ θ :

cos ⁡ θ = - 3 2 3

Multiplicando pelo conjugado, temos:

cos ⁡ θ = - 3 2 3 ∙ - 2 3 - 2 3

cos ⁡ θ = 6 3 - 12

Simplificanado por 6 :

cos ⁡ θ = 3 - 2

θ = cos - 1 ⁡ 3 - 2

θ = 150 °

Outra resposta possível é o complementar desse ângulo que é

θ = 180 - 150 = 30 °

Isso por que entre duas retas existem dois ângulos possíveis

Arrasamos!!!!!!

Agora faltam apenas duas, bora resolve-las?

Resposta

θ = 150 °   o u   30 °

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