Enunciado

21. Determinar o ângulo entre as seguintes retas:

a) r 1 : x = - 2 - t y = t z = 3 - 2 t e r 2 : x 2 = y + 6 1 = z - 1 1

Passo 1

Então galera, aqui o que o enunciado nos cede são duas equações de reta, no qual a primeira se trata de equações paramétricas e a outra se trata de equações simétricas. Para calcularmos o ângulo entre dois vetores devemos utilizar a equação do produto escalar entre dois vetores, que é dado da seguinte forma:

u → ∙ v → = u → ∙ v → cos ⁡ θ

No qual cos ⁡ θ é o ângulo entre os dois vetores. Sendo assim:

cos ⁡ θ = u → ∙ v → u → ∙ v →

Então o que temos que fazer agora é determinar quem são os dois vetores do nosso problema. Bora que bora!

Passo 2

Para a primeira reta:

r 1 : x = - 2 - t y = t z = 3 - 2 t

Temos que o vetor diretor é u → = - 1 ,   1 ,   - 2 . Para a segunda reta:

r 2 : x 2 = y + 6 1 = z - 1 1

Temos que o vetor diretor é v → = 2 ,   1 ,   1 . Achando o módulo de cada um dos vetores agora, teremos:

u → = - 1 2 + 1 2 + - 2 2

u → = 6

Agora para o segundo:

v → = 2 2 + 1 2 + 1 2

v → = 6

Show!

Passo 3

Agora que encontramos tudo que previsávamos, basta substituirmos os dados no produto escalar que escrevemos no passo 1, saca só:

cos ⁡ θ = cos ⁡ θ = u → ∙ v → u → ∙ v →

cos ⁡ θ = - 1 ,   1 ,   - 2 ∙ 2 ,   1 ,   1 6 . 6 = - 3 6

cos ⁡ θ = - 1 2

∴ θ = 60 °

E esse é o ângulo entre os vetores, galera!

Resposta

θ = 60 °

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Obtenha equações paramétricas para a reta que passa pelo ponto (2, 3) e é perpendicular à reta 5 x - 3 y = 2
Sob a forma a x + b y = c , escreva a equação da reta perpendicular à reta 3 x + 2 y = 5 baixada do ponto P = ( - 1 , - 2 ) .
Prove que não existe um triângulo equilátero cujos vértices tenham coordenadas racionais.
Dadas as retas r : a x + b y = c er ' : a ' x + b ' y = c ' , suponha que a 2 + b 2 = a ' 2 + b ' 2 = 1 . Mostre que as duas bissetrizes do ângulo formados por r e r ' são a - a ' x + b - b ' y = c -
Escreva equações paramétricas da reta r que passa por A=( 1,2 , - 1 ) , encontra a reta x - 1 2=y=z + 3 - 1 e é ortogonal ao vetor u →=( 1 , - 1,2 ) .