Enunciado

19. Determinar as equações paramétricas e representar graficamente a reta que passa por:

e) A 3 ,   - 1 ,   3 e B 3 ,   3 ,   4 .

Passo 1

Antes de iniciarmos a resolução vamos relembrar rapidamente do que estamos falando quando utilizamos o termo “equações paramétricas”, tudo bem? Essas equações, assim como discutido no capítulo em questão do Winterle, são equações que representam uma reta qualquer utilizando uma mesma incógnita (geralmente chamada de t ) que recebe o nome de parâmetro. Esse termo t cria nada mais, nada menos do que uma ligação entre as equações paramétricas, galera! Show!

Dado um ponto qualquer do tipo x ,   y ,   z , através da equação vetorial da reta conseguimos extrair que:

x ,   y ,   z = x 1 ,   y 1 ,   z 1 + t a ,   b ,   c

Onde as equações paramétricas da reta são:

x = x 1 + a t y = y 1 + b t z = z 1 + c t

E essa é a ideia que vamos aplicar para resolver nossa questão! Como já temos o ponto A , então basta que consigamos determinar o vetor direção relacionado ao parâmetro t , ou seja:

a ,   b ,   c

Então bora que bora!

Passo 2

A questão diz que a reta passa pelos pontos A e B , certo? Sendo assim, nosso vetor direção pode ser escrito da seguinte forma:

A B → = B - A

A B → = 3 ,   3 ,   4 - 3 ,   - 1 ,   3

A B → = 0 ,   4 ,   1

Show! Agora que encontramos nosso vetor direção, basta utilizarmos a relação que discutimos no passo 1 . Aqui vale ressaltar que como a reta passa pelos dois pontos, então podemos escolher qualquer um, tanto A quanto B , tudo bem? Escolhendo B :

x ,   y ,   z = x 1 ,   y 1 ,   z 1 + t a ,   b ,   c

x ,   y ,   z = 3 ,   - 1 ,   3 + t 0 ,   4 ,   1

Logo, nossas equações paramétricas serão:

x = 3 y = - 1 + 4 t z = 3 + t

Passo 3

Agora que encontramos as equações paramétricas, se representarmos graficamente a reta que passa por A e B e tem direção A B → = 0 ,   4 ,   1 , teremos algo assim ó:

No qual o vetor direção é o que está embaixo, enquanto o vetor maior que passa por B é justamente a reta que queríamos esboçar! O eixo em vermelho é x , o eixo em verde é y e o eixo em azul é z . Vale ressaltar também que como estamos em 3 dimensões, então precisamos ter uma noção de perspectiva bem afiada, tudo bem? Massa!

E está aí nossa resolução, galera!

Resposta

Equações Paramétricas: x = 3 y = - 1 + 4 t z = 3 + t

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