Enunciado

Determinar uma base ortonormal do subespaço W = [ 1,1 , 1 , 1 , - 2,3 ] do R 3 em relação ao produto interno dado por:

u , v = x 1 y 1 + 2 x 2 y 2 + x 3 y 3

Para todo par de vetores u = x 1 , x 2 , x 3 e v = ( y 1 , y 2 , y 3 ) do R 3 .

Passo 1

Vamos lá! A base ortonormal é { w 1 , w 2 } , onde para determinar uma base ortonormal precisamos utilizar o processo de Gram-Schmidt:

w 1 = w 1 w 1 = 1 3 , 1 3 , 1 3

Beleza?

Agora,

w ' 2 = u 2 - u 2 , w 1 w 1

Vamos primeiro calcular o produto interno u 2 , w 1   conforme foi definido no enunciado:

u 2 , w 1 = 1 3 + 2 . - 2 . 1 3 + 3 3 = 1 3 - 4 3 + 3 3 = 0

Portanto,

w ' 2 = u 2 = ( 1 , - 2,3 )

Logo,

w 2 = w ' 2 w ' 2 = ( 1 , - 2,3 ) 15 = 1 15 , - 2 15 , 3 15

Beleza?

Resposta

w 1 , w 2 = 1 3 , 1 3 , 1 3 , 1 15 , - 2 15 , 3 15

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