Enunciado

Sejam T , S ∈ L V operadores auto-adjuntos. Mostrar que: T ∘ S é auto-adjunto se, e somente se, T ∘ S =   S ∘ T .

Passo 1

Vamos lá a nossa questão!

Esta questão pode ser muito difícil se nós estudarmos a teoria de operadores auto-adjuntos apenas pela seção do livro. Na grande realidade, existe muito conteúdo por trás.

Na resolução da questão vamos precisar puxar um pouco deste conteúdo meio obscuro para nos ajudar.

Por exemplo, antes de um operador ser auto-adjunto, o operador deve ser adjunto. Um operador A será adjunto se ele satisfizer a seguinte relação:

A u , v = u , A * v

Percebam que temos A e A * . Este último é chamado adjunta de A . Para o caso em que A = A * , chamamos de operador auto-adjunto.

Então, o operador auto-adjunto é um caso particular de um operador adjunto.

Passo 2

Vamos utilizar a ideia do Passo 1 para resolver esta questão. Se T ∘ S é um operador auto-adjunto, significa que ele é um caso particular de um operador adjunto. Então, temos a seguinte relação:

T ∘ S = T ∘ S *

O operador T ∘ S é igual ao seu adjunto T ∘ S * . Escrevendo em relação as suas matrizes, temos:

T S = T S *

Estamos quase finalizando a prova! Vamos aplicar as propriedades de uma matriz adjunta. A primeira é que:

T S * = S * T *

E como T e S são operadores auto-adjuntos, T = T * e S = S * . Consequentemente,

T S * = S * T * = S T

Portanto, voltando para a relação inicial,

T S = S T

Com isto, acabamos de provar que, se T ∘ S é auto-adjunto se, e somente se, T ∘ S = S ∘ T .

No final, esta questão não é tão difícil se o livro tivesse uma base teórica maior sobre estes operadores.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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