Enunciado

Seja A um operador auto-adjunto de um espaço euclidiano V . Se H é um sub-espaço vetorial de V com a propriedade

u ∈ H → A u ∈ H

Mostrar que H ⊥ tem também essa propriedade.

Passo 1

Vamos lá a nossa questão! Ela está nos pedindo para mostrar que, dado um vetor v ∈ H ⊥ , a transformação A v ∈ H ⊥ .

Bom, o difícil desta questão é saber por onde partir, qual a relação que devemos utilizar. Mas, antes disto, vamos relembrar alguns conceitos.

Seja dois vetores w e w ' , ambos pertencentes ao espaço vetorial V . Deste espaço, podemos dividir em dois subespaços H , e seu complemento ortogonal H ⊥ . Por definição, temos então:

V = H ⊕ H ⊥

Esta definição trás uma implicação muito importante para a gente! Isto significa que a gente pode decompor os nossos vetores w e w ' em duas partes. Uma parte pertencerá ao espaço H e a outra ao espaço H ⊥ . Portanto,

w = u + v

w ' = u ' + v '

Passo 2

Feito toda esta definição, vamos ver a decorrência da propriedade dita no enunciado da questão. Como A é um operador adjunto, podemos escrever a seguinte relação:

A u , u ' = u , A u '

Sendo u e u ' vetores quaisquer de H .

Só que percebam que que o operador A atua sob todo o espaço V . Portanto, vamos verificar o que ocorre para que quando fazemos a operação sob vetores w e w ' quaisquer. Desta forma, temos:

A w , w ' = w , A w '

A u + v , u ' + v ' = u + v , A u ' + v '

A u , u ' + A u , v ' + A v , u ' + A v , v ' = u , A u ' + u , A v ' + v , A u ' + v , A v '

Como definição do operador e as propriedades sobre o subespaço H , vimos que A u , u ' = u , A u ' . Logo,

A u , v ' + A v , u ' + A v , v ' = u , A v ' + v , A u ' + v , A v '

Considerando que v , v ' , A v e A v ' pertencem ao subespaço H ⊥ e que u , u ' , A u e A u ' pertencem ao subespaço H , podemos afirmar que o produto interno entre quaisquer par de vetores, de subespaços distintos, é igual a 0. Portanto,

A u , v ' = A v , u ' = u , A v ' = v , A u ' = 0

Desta forma, toda a relação que estávamos desenvolvendo se torna:

A v , v ' = v , A v '

Que é exatamente a definição de um operador auto-adjunto aplicado a vetores do subespaço H ⊥ .

Então, concluímos a questão mostrando que o subespaço H ⊥ possui a mesma propriedade que o subespaço H .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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