Enunciado

Determinar as bases duais de cada uma das seguintes bases:

1,1 , 2 , 1,2 , 0 , 3,4 , 0   d o   R 3

Passo 1

Teorema 1 - Seja B = u 1 , u 2 , u 3 uma base dp espaço U. Dizemos que as aplicações F 1 ,   F 2 e F 3 que associam cada elemento u = x 1 u 1 + x 2 u 2 + x 3 u 3 ∈ U e os elementos x 1 ,   x 2 e x 3 respectivamente, configuram uma base dual da base B .

Assim seja nossa base dual dada por F 1 , F 2 , F 3 , na qual temos que F 1 ,   F 2 e F 3 podem ser escritas como

F 1 x , y , z = a 1 x + a 2 y + a 3 z

F 2 x , y , z = b 1 x + b 2 y + b 3 z

F 3 x , y , z = c 1 x + c 2 y + c 3 z

Além disso temos que

F 1 1,1 , 2 = 1 ,   F 1 1,2 , 0 = 0 ,   F 1 3,4 , 0 = 0

Ou seja, F 1 leva nossos vetores ao primeiro vetor da base canônica, isto é, a base que constroi nosso espaço R 3 . Logo nosso unico trabalho é calcular quem são nossos elementos a i ,   b i e c i com i = 1,2 , 3 .

Passo 2

Matematicamente já apresentamos o que fazer, certo? Se não hahaha seguimos. Tomando o que apresentamos no Passo 1, temos então que

F 1 1,1 , 2 = 1 ,   F 1 1,2 , 0 = 0 ,   F 1 3,4 , 0 = 0 F 2 1,1 , 2 = 0 ,   F 2 1,2 , 0 = 1 ,   F 2 3,4 , 0 = 0 F 3 1,1 , 2 = 0 ,   F 3 1,2 , 0 = 0 ,   F 3 3,4 , 0 = 1

Assim como supomos escrever nossas Transformações, então podemos escrever

F 1 : a 1 + a 2 + 2 a 3 = 1 a 1 + 2 a 2 + 0 a 3 = 0 3 a 1 + 4 a 2 + 0 a 3 = 0

F 2 : b 1 + b 2 + 2 b 3 = 0 b 1 + 2 b 2 + 0 b 3 = 1 3 b 1 + 4 b 2 + 0 b 3 = 0

E

F 3 : c 1 + c 2 + 2 c 3 = 0 c 1 + 2 c 2 + 0 c 3 = 0 3 c 1 + 4 c 2 + 0 c 3 = 1

Passo 3

Então como diria Jack Estripador, vamos por partes. Para F 1 , pela segunda equação temos que a 1 = - 2 a 2 . Substituindo na equação 3 temos

3 - 2 a 2 + 4 a 2 = - 2 a 2 = 0 → a 2 = 0 → a 1 = 0

Assim falta determinar quem é a 3 . Mas ficou fácil não? Olhando pra primeira equação temos que

2 a 3 = 1 → a 3 = 1 2

Vou dar um Ctrl+C e Ctrl+V no que acabmos de fazer e seguir para F 2 e F 3 , então como diria Jack Estripador, vamos por partes (hahahahahaha). Para F 2 , pela segunda equação temos que b 1 = 1 - 2 b 2 . Substituindo na equação 3 temos

3 1 - 2 b 2 + 4 b 2 = 3 - 6 b 2 + 4 b 2 = 3 - 2 b 2 = 0 → b 2 = 3 2

Implicando em

b 1 = 1 - 2 ⋅ 3 2 = - 2

Assim falta determinar quem é b 3 . Mas ficou fácil não? Olhando pra primeira equação temos que

- 2 + 3 2 + 2 b 3 = 0 → b 3 = 1 4

E por fim, como diria Jack Estripador, vamos por partes (+haha). Para F 3 , pela segunda equação temos que c 1 = - 2 c 2 . Substituindo na equação 3 temos

3 - 2 c 2 + 4 c 2 = - 2 c 2 = 1 → c 2 = - 1 2

Implicando em

c 1 = - 2 ⋅ - 1 2 = 1

Assim falta determinar quem é c 3 . Mas ficou fácil não? Olhando pra primeira equação temos que

1 - 1 2 + 2 c 3 = 0 → c 3 = - 1 4

Passo 4

Assim por fim, temos que

F 1 ,   F 2 , F 3 = z 2 , - 2 x + 3 y 2 + z 4 ,   x - y 2 - z 4

Nossa base dual.

Resposta

z 2 , - 2 x + 3 y 2 + z 4 ,   x - y 2 - z 4

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