Enunciado

Determinar uma equação geral do plano que passa por A ( 2 , 0 , - 2 ) e é paralelo aos vetores u → = i ^ - j ^ + k ^ e v → = 2 i ^ + 3 j ^ .

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Vamos resolver junto esse exercício? =D

Relembrar é viver, né? Sendo assim, vou te relembrar do que será preciso para cada equação do plano.

Para escrever a equação geral do plano precisamos de um vetor normal ao plano e um ponto que pertença a ele.

A equação geral é:

a x - x 0 + b y - y 0 + c z - z 0 = 0

Onde x 0 , y 0 , z 0 são as coordenadas do ponto e a , b , c as componentes do vetor.

A ideia aqui é fazer um produto vetorial entre os vetores u → e v → , assim teremos um vetor normal ao plano. E justamente com o ponto A , equacionar esse plano.

Tranquilo? Vamos começar?

Passo 2

Começando pelo produto vetorial entre v → = ( 2,3 , 0 ) e u → = ( 1 , - 1,1 ) :

v → × u → = i ^ j ^ k ^ 2 3 0 1 - 1 1 = i → 3 + 0 + j → 0 - 2 + k → ( - 2 - 3 )

= ( 3 , - 2 , - 5 )

Passo 3

Agora juntando o vetor normal ( 3 , - 2 , - 5 ) com o ponto A ( 2,0 , - 2 ) , podemos escrever uma equação geral pra esse plano:

a x - x 0 + b y - y 0 + c z - z 0 = 0

3 x - 2 - 2 y - 0 - 5 z + 2 = 0

3 x - 6 - 2 y - 5 z - 10 = 0

3 x - 2 y - 5 z - 16 = 0

Assim a equação do plano é 3 x - 2 y - 5 z - 16 = 0 .

Espero ter ajudado!

Vamos pra próxima?

Resposta

3 x - 2 y - 5 z - 16 = 0

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Escreva uma equação vetorial e equações paramétricas do plano π , utilizando as informações dadas em cada caso.a) π contém A = ( 1 ,2 ,0 ) e é paralelo aos vetores u → = ( 1 ,1 ,0 ) e v → = ( 2 ,3 ,-
Obtenha equações paramétricas do plano que contém o ponto A = ( 1 ,1 ,2 ) e é paralelo ao plano π :x = 1 + λ + 2 μ y = 2 λ + μ z = - λ
Decomponha u → = ( 1 ,2 ,4 ) como soma de um vetor paralelo à reta r : X = 1 ,9 ,18 + λ ( 2 ,1 ,0 ) com outro paralelo ao plano π :x = 1 + λ y = 1 + μ z = λ - μ
São dados os sistemas de equações x = λ + 2 μ y = 1 + λ + 2 μ z = - λ - 2 μ x = x 0 + λ a + μ m y = y 0 + λ b + μ n z = z 0 + λ c + μ p a) Descreva o lugar geométrico dos pontos X = ( x ,y ,z ) que sa
Obtenha equações paramétricas dos planos coordenados.