Enunciado

Determinar a equação geral do plano que passa pelo ponto médio do segmento de extremos A ( 5 , - 1,4 ) e B ( - 1 , - 7,1 ) e é perpendicular a ele.

Passo 1

Oi galera, tudo bem? Vamos resolver junto esse exercício? =D

Para escrever a equação geral de um plano precisamos de duas coisas: um ponto ( x 0 , y 0 , z 0 ) que pertença a ele e um vetor ( a , b , c ) que seja perpendicular a ele.

A equação geral é:

a x - x 0 + b y - y 0 + c z - z 0 = 0

Beleza?

Passo 2

O ponto é o ponto médio entre os pontos A ( 5 , - 1,4 ) e B ( - 1 , - 7,1 ) . E o vetor? Bom, o vetor não foi dado explicitamente, mas esse plano é perpendicular ao segmento. Então um vetor desse segmento é um vetor ortogonal o plano. Sendo assim, um vetor desse segmento é, por exemplo, um vetor que sai de A e vai até B , mas poderia ser um vetor que vai de B até A , o até mesmo ao ponto médio desse segmento.

Daí é só jogar o ponto e o vetor na equação geral do plano.

Tranquilo?

Passo 3

Começando pelo ponto médio:

M x m , y m = x A + x B 2   , y A + y B 2 , z A + z B 2

M = 5 - 1 2   , - 1 - 7 2 , 4 + 1 2

M = 2 , - 4 , 5 2

Agora vamos calcular o vetor:

A B - = B - A = - 1 , - 7,1 - 5 , - 1,4 = ( - 6 , - 6 , - 3 )

Passo 4

Reunindo as informações que calculamos temos:

x 0 , y 0 , z 0 = 2 , - 4 , 5 2

a , b , c = ( - 6 , - 6 , - 3 )

E agora é só substituir na equação geral:

a x - x 0 + b y - y 0 + c z - z 0 = 0

- 6 x - 2 - 6 y + 4 - 3 z - 5 2 = 0

Só mais umas continhas e chegamos lá:

- 6 x - 6 y - 3 z + 12 - 24 + 15 2 = 0

- 6 x - 6 y - 3 z - 9 2 = 0

E vou dividir toda essa equação por - 3 :

2 x + 2 y + z + 3 2 = 0

E para não ficarmos com um termo independente fracionário, vou multiplicar toda a equação por 2 (mas isso aqui é firula, qualquer uma das duas equações são igualmente válidas):

4 x + 4 y + 2 z + 3 = 0

Então a equação desse plano é 4 x + 4 y + 2 z + 3 = 0   .

Espero ter ajudado!

Vamos pra próxima?

Resposta

4 x + 4 y + 2 z + 3 = 0

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Supondo que o sistema de coordenadas seja ortogonal, obtenha equações paramétricas dos seis planos bissetores dos dietros determinados pelos planos de coordenadas.
Determinar a equação geral do plano perpendicular ao eixo dos y e que contém o ponto A 3,4 , - 1 .
Escrever a equação geral do plano determinado pelos pontos: A - 1,2 , 0 , B 2 , - 1,1eC ( 1,1 , - 1 )
Determine a equação geral do plano:O plano contém os pontos A 1 , - 2,2eB ( - 3,1 , - 2 ) e é perpendicular ao plano π : 2 x + y - z + 8 = 0 .
Determine a equação geral do plano:O plano que passa pelo ponto A - 3,1 , - 2 eB ( - 1,2 , 1 ) e é paralelo ao vetor v → = 2 i → - 3 k → .