Enunciado

Determinar a equação reduzida referida ao sistema X O ' Y e o gênero da cônica representada pela equação dada a seguir. Esboçar o gráfico.

7 x 2 - 8 x y + y 2 - 17 5 x + 11 5 y + 41 = 0

Passo 1

A questão pede para escrevermos a equação da cônica em um novo sistema de coordenadas em que não aparece o termo misto x y . Para isso, temos que lembrar que a parte quadrática da equação pode ser escrita como

a x 2 + 2 b x y + c y 2 = x y   a b b c   x y

O que temos que fazer é achar um novo sistema de coordenadas x ' ,   y ' em que a matriz é diagonal. Para isso, temos que achar seus autovalores e autovetores!

Neste caso, a equação é

7 x 2 - 8 x y + y 2 - 17 5 x + 11 5 y + 41 = 0

Olhando apenas para a parte quadrática:

7 x 2 - 8 x y + y 2 = x y   7 - 4 - 4 1   x y

Para achar os autovalores, resolvemos a equação característica:

7 - λ - 4 - 4 1 - λ = 0

Assim,

7 - λ 1 - λ - 16 = 0

Portanto,

7 - 7 λ - λ + λ 2 - 16 = 0 ⇒ λ 2 - 8 λ - 9 = 0

Resolvendo a equação:

λ = 8 ± 64 + 36 2 = 8 ± 10 2

Chegamos então nos autovalores:

λ 1 = - 1               e           λ 2 = 9

Assim, no sistema x ' y ' , teremos

x ' y '   - 1 0 0 9   x ' y ' = - x ' 2 + 9 y ' 2

Passo 2

O próximo passo é achar os autovetores associados. Para λ 1 = - 1 , temos

8 - 4 - 4 2 a b = 0 0 ⇒ 2 a - b = 0 ⇒ b = 2 a

Portanto,

v 1 = a ,   b = a ,   2 a = a   ( 1 ,   2 )

Para que ele seja normalizado, escolhemos a = 1 / 5 :

v 1 = 1 5 ,   2 5

Já para λ 2 = 9 :

- 2 - 4 - 4 - 8 a b = 0 0 ⇒ a + 2 b = 0 ⇒ a = - 2 b

Logo,

v 2 = a ,   b = - 2 b ,   b = b   ( - 2 ,   1 )

Escolhendo b = 1 / 5 :

v 2 = - 2 5 , 1 5

Passo 3

Os autovetores serão as colunas da matriz de mudança de base, de modo que podemos escrever:

x y = 1 5 - 2 5 2 5 1 5 x ' y ' ⇒ x = x ' 5 - 2 y ' 5             e           y = 2 x ' 5 + y ' 5

Com essas transformações, a equação da cônica é reescrita como

- x ' 2 + 9 y ' 2 - 17 5 x ' 5 - 2 y ' 5 + 11 5   2 x ' 5 + y ' 5 + 41 = 0

Assim,

- x ' 2 + 9 y ' 2 + 5 x ' + 45 y ' + 41 = 0

Vamos completar quadrados para a parte com x ' :

- x ' 2 + 5 x ' = - x ' 2 - 5 x ' + 25 4 - 25 4 = - x ' - 5 2 2 + 25 4

Analogamente para y ' :

9 y ' 2 + 45 y ' = 9 y ' 2 + 5 y ' + 25 4 - 25 4 = 9 y ' + 5 2 2 - 225 4

Portanto,

- x ' - 5 2 2 + 25 4 + 9 y ' + 5 2 2 - 225 4 + 41 = 0

Logo,

- x ' - 5 2 2 + 9 y ' + 5 2 2 - 50 + 41 = 0 ⇒ 9 y ' + 5 2 2 - x ' - 5 2 2 = 9

Dividindo a equação por 9 :

y ' + 5 2 2 - x ' - 5 2 2 9 = 1

Por fim, vamos redefinir as variáveis por uma translação:

x ' - 5 2 → X             e           y ' + 5 2 → Y

Portanto,

Y 2 - X 2 9 = 1

Trata-se de uma hipérbole, cujo esboço é dado a seguir:

Resposta

Y 2 - X 2 9 = 1

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Mostrar que as seguintes equações representam duas retas no plano: x 2 + 2 x y + y 2 - 1 = 0
Efetuar uma rotação nos eixos coordenados a fim de eliminar o termo x y . Identificar a cônica e escrever sua equação no sistema x ' O y ' obtido após a rotação. Esboçar o gráfico. 7 x 2 - 8 x y + y 2
Determinar a equação reduzida referida ao sistema X O ' Y e o gênero da cônica representada pela equação dada a seguir. Esboçar o gráfico. 4 x 2 + 4 x y + y 2 + 5 5 x + 10 5 y + 5 = 0
Determinar a equação reduzida referida ao sistema X O ' Y e o gênero da cônica representada pela equação dada a seguir. Esboçar o gráfico. 17 x 2 + 12 x y + 8 y 2 - 10 x + 20 y + 5 = 0