Enunciado

Determinar a equação reduzida referida ao sistema X O ' Y e o gênero da cônica representada pela equação dada a seguir. Esboçar o gráfico.

4 x 2 + 4 x y + y 2 + 5 5 x + 10 5 y + 5 = 0

Passo 1

A questão pede para escrevermos a equação da cônica em um novo sistema de coordenadas em que não aparece o termo misto x y . Para isso, temos que lembrar que a parte quadrática da equação pode ser escrita como

a x 2 + 2 b x y + c y 2 = x y   a b b c   x y

O que temos que fazer é achar um novo sistema de coordenadas x ' ,   y ' em que a matriz é diagonal. Para isso, temos que achar seus autovalores e autovetores!

Neste caso, a equação é

4 x 2 + 4 x y + y 2 + 5 5 x + 10 5 y + 5 = 0

Olhando apenas para a parte quadrática:

4 x 2 + 4 x y + y 2 = x y   4 2 2 1   x y

Para achar os autovalores, resolvemos a equação característica:

4 - λ 2 2 1 - λ = 0

Assim,

4 - λ 1 - λ - 4 = 0

Portanto,

4 - 4 λ - λ + λ 2 - 16 = 0 ⇒ λ 2 - 5 λ = 0

Chegamos então nos autovalores:

λ 1 = 0               e           λ 2 = 5

Assim, no sistema x ' y ' , teremos

x ' y '   0 0 0 5   x ' y ' = 5 y ' 2

Passo 2

O próximo passo é achar os autovetores associados. Para λ 1 = 0 , temos

4 2 2 1 a b = 0 0 ⇒ 2 a + b = 0 ⇒ b = - 2 a

Portanto,

v 1 = a ,   b = a ,   - 2 a = a   ( 1 ,   - 2 )

Para que ele seja normalizado, escolhemos a = 1 / 5 :

v 1 = 1 5 ,   - 2 5

Já para λ 2 = 9 :

- 1 2 2 - 4 a b = 0 0 ⇒ a - 2 b = 0 ⇒ a = 2 b

Logo,

v 2 = a ,   b = 2 b ,   b = b   ( 2 ,   1 )

Escolhendo b = 1 / 5 :

v 2 = 2 5 , 1 5

Passo 3

Os autovetores serão as colunas da matriz de mudança de base, de modo que podemos escrever:

x y = 1 5 2 5 - 2 5 1 5 x ' y ' ⇒ x = x ' 5 + 2 y ' 5             e           y = - 2 x ' 5 + y ' 5

Com essas transformações, a equação da cônica é reescrita como

5 y ' 2 + 5 5 x ' 5 + 2 y ' 5 + 10 5   - 2 x ' 5 + y ' 5 + 5 = 0

Assim,

5 y ' 2 - 15 x ' + 20 y ' + 5 = 0

Vamos completar quadrados para a parte com y ' :

5 y ' 2 + 20 y ' = 5 y ' 2 + 4 y ' + 4 - 4 = 5 y ' + 2 2 - 20

Assim,

5 y ' + 2 2 - 20 - 15 x ' + 5 = 0

Logo,

5 y ' + 2 2 - 15 x ' = 15 ⇒ y ' + 2 2 3 - x ' = 0

Fazendo uma translação:

x ' → X             e           y ' + 2 → Y

Assim,

Y 2 = 3 X

Trata-se de uma parábola, cujo esboço é dado a seguir:

Resposta

Y 2 = 3 X

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