Enunciado

Determinar uma matriz P que diagonaliza A ortogonalmente e calcular P - 1 A P .

A = 2 - 2 - 1 - 2 2 1 - 1 1 5

Passo 1

O problema fornece uma matriz simétrica A e pede para encontrarmos uma matriz ortogonal de modo que P - 1 A P seja diaogonal.

Para isso, temos que lembrar que uma matriz simétrica é sempre diagonal e seus autovetores serão ortogonais entre si. Assim, a matriz de mudança de base P construída com os autovetores de A será ortogonal ( P t = P - 1 ). Desta forma, o que temos que fazer é encontrar os autovetores de A e normalizá-los para construir P !

O primeiro passo é encontrar os autovalores de A pela equação característica:

det ⁡ ( A - λ I ) = 0

Assim,

2 - λ - 2 - 1 - 2 2 - λ 1 - 1 1 5 - λ = 0

Desenvolvendo o determinante com relação a primeira linha:

2 - λ 2 - λ 5 - λ - 1 + 2 - 10 + 2 λ + 1 - ( - 2 + 2 - λ ) = 0

Logo,

2 - λ λ 2 - 7 λ + 9 + 5 λ - 18 = 0 ⇒ λ 3 - 9 λ 2 + 18 λ = 0

Portanto, os autovalores são

λ 1 = 0 ,   λ 2 = 3   e   λ 3 = 6

Passo 2

Agora vamos procurar os autovetores:

A - λ I   v = 0

Para λ 1 = 0 :

2 - 2 - 1 - 2 2 1 - 1 1 5 a b c = 0 0 0

Assim, tiramos que

c = 2 a - 2 b ⇒ - a + b + 10 a - 10 b = 0 ⇒ b = a ⇒ c = 0

Logo,

v 1 = a ,   b ,   c = a ,   0 ,   a = a   ( 1 ,   0 ,   1 )

Para que ele seja normalizado, a = 1 / 2 :

v 1 = 1 2 , 0 ,   1 2

Já para o segundo autovalor λ 2 = 3 :

- 1 - 2 - 1 - 2 - 1 1 - 1 1 2 a b c = 0 0 0

Portanto,

c = - a - 2 b ⇒ - 2 a - b - a - 2 b = 0 ⇒ b = - a ⇒ c = a

Assim,

v 2 = a ,   b , c = a ,   - a ,   a = a   ( 1 ,   - 1 ,   1 )

Escolhendo a = 1 / 3 :

v 2 = ( 1 3 , - 1 3 , 1 3 )

Por fim, para λ 3 = 6 :

- 4 - 2 - 1 - 2 - 4 1 - 1 1 - 1 a b c = 0 0 0

Daqui, obtemos

c = - 4 a - 2 b ⇒ - 2 a - 4 b - 4 a - 2 b = 0 ⇒ b = - a ⇒ c = - 2 a

Logo,

v 3 = 1 6 ,   - 1 6 , - 2 6

Passo 3

Agora que temos os autovetores, basta construir a matriz P com eles:

P = 1 2 1 3 1 6 0 - 1 3 - 1 6 1 2 1 3 - 2 6

Com essa matriz,

P - 1 A P = 0 0 0 0 3 0 0 0 6

Resposta

P = 1 2 1 3 1 6 0 - 1 3 - 1 6 1 2 1 3 - 2 6

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre A n se n for um inteiro positivo e: A = 3 - 1 0 - 1 2 - 1 0 - 1 3
No Exercício 4, mostre que A e B não são matrizes semelhantes.A = 1 0 1 2 0 2 3 0 3 , B = 1 1 0 2 2 0 0 1 1
Seja A =4 0 1 2 3 2 1 0 4 Será A diagonalizável? Justifique sua conclusão.
No Exercício 7, use o método do Exercício 6 para determinar se a matriz é diagonalizável. 2 0 1 2
No Exercício 3, mostre que A e B não são matrizes semelhantes.A = 1 2 3 0 1 2 0 0 1 , B = 1 2 0 1 / 2 1 0 0 0 1