Enunciado

Verificar se a matriz A é diagonalizável. Caso seja, determinar uma matriz P que diagonaliza A e calcular P - 1 A P .

A = 1 0 0 - 2 3 - 1 0 - 4 3

Passo 1

O problema fornece uma matriz A e pede para verificar se ela é diagonalizável ou não. Se ela for, temos que encontrar a matriz P de modo que P - 1 A P seja diagonal.

Basicamente, o que temos que fazer é encontrar os autovalores de A e seus autovetores associados. Se os autovetores formarem uma base, então a matriz será diagonalizável! Neste caso, as colunas da matriz P são as componentes dos autovetores.

já primeira coisa que você tem que tentar fazer é achar os autovalores resolvendo a equação característica:

det ⁡ A - λ I = 0

Assim,

1 - λ 0 0 - 2 3 - λ - 1 0 - 4 3 - λ = 0

Desenvolvendo o determinante com relação a primeira linha:

1 - λ ⋅ 3 - λ 2 - 4 = 0

Assim,

1 - λ = 0           o u           3 - λ = ± 2

Portanto, os autovalores são

λ 1 = 1   m u l t i p l i c i d a d e   2         e           λ 2 = 5

Como um dos autovalores tem multiplicidade 2 , temos que ver se a matriz admite dois autovetores L I associados a ele. Caso isso ocorra, ela será diagonalizável.

Passo 2

A equação para determinarmos os autovetores é

A - λ I a b c = 0 0 0

Para λ 1 = 1 :

0 0 0 - 2 2 - 1 0 - 4 2 a b c = 0 0 0

Da terceira equação:

- 4 b + 2 c = 0 ⇒ c = 2 b

Substituindo na segunda:

- 2 a + 2 b - 2 b = 0 ⇒ a = 0

Logo,

a ,   b ,   c = 0 ,   b ,   2 b = b   ( 0 ,   1 ,   2 )

Assim, os autovetores de A associados a λ 1 = 1 são combinações lineares de ( 0 ,   1 ,   2 ) . Sendo assim, a dimensão desse autoespaço é 1 , enquanto a multiplicidade do autovalor é 2 . Por isso a matriz A não pode ser diagonalizada.

Resposta

A não é diagonalizável

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

No Exercício 1, mostre que A e B não são matrizes semelhantes.A = 1 1 3 2 , B = 1 0 3 - 2
Seja A =4 0 1 2 3 2 1 0 4 Encontre os autovalores de A.
No Exercício 2, mostre que A e B não são matrizes semelhantes.A = 4 - 1 2 4 , B = 4 1 2 4
Seja A uma matriz 6 x 6 com equação característica λ 2 λ - 1 λ - 2 3 = 0 . Quais são as possíveis dimensões dos autoespaços de A?
Seja A =4 0 1 2 3 2 1 0 4 Para cada valor de λ , encontre o posto da matriz λ I - A .