Enunciado

Determine a equação geral do plano que contém os seguintes pares de retas:

r : x = z ; y = - 3       e     s : x = - t y = 1 z = 2 - t

Passo 1

E aí tudo joia?

Precisamos encontrar um vetor normal ao plano pra escrever a equação geral dele.

O plano contém essas duas retas aí!

Vamos pegar dois pontos nessa primeira reta. Tipo:

A 0 , - 3,0   e     B ( 1 , - 3,1 )

E mais um na segunda:

C ( 0,1 , 2 )

Passo 2

Agora vamos fazer os vetores A B →   e   A C → :

A B → = ( 1,0 , 1 )

A C → = ( 0,4 , 2 )

Esses dois vetores são paralelos ao plano, precisamos de um que seja normal a eles!

Passo 3

Pra achar um vetor normal, a gente vai fazer o produto vetorial entre eles:

det ⁡ i → j → k → 1 0 1 0 4 2 = i → 0 1 4 2 - j → 1 1 0 2 + k → 1 0 0 4

= - 4 i → - 2 j → + 4 k →

Temos então que um vetor normal ao plano é:

( - 4 , - 2,4 )

Nosso plano então é da forma:

- 4 x - 2 y + 4 z + d = 0

Passo 4

Vamos achar esse d agora pegando um ponto qualquer das retas e jogando nessa equação do plano:

A ( 0 , - 3,0 )

- 4 0 - 2 - 3 + 4 0 + d = 0

d = 6

Nosso plano então é:

- 4 x - 2 y + 4 z + 6 = 0

2 x + y - 2 z + 3 = 0

E prontinho! Finalmente encontramos nosso plano😉

Resposta

2 x + y - 2 z + 3 = 0

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Determine a projeção ortogonalDa reta r : X + 1 = y + 2 = 3 z - 3 sobre o plano π : x - y + 2 z = 0 .
Obtenha equações do lugar geométrico dos pontos médios dos segmentos com uma extremidade em r e outra em π e descreva-o geometricamente.(c) π : x - 2 y - z = 0 r : X = 1,0 , 1 + λ 1,0 , 1
Sejam A = 1 ,4 ,0 e B = 0 ,1 ,- 2 . Nos casos do exercício anterior, obtenha equações do lugar geométrico dos pontos médios dos segmentos paralelos a A B com uma extremidade em π 1 e outra em π 2 . De