Enunciado

Sejam A = 1 ,   4 ,   0 e B = 0 ,   1 ,   - 2 . Nos casos do exercício anterior, obtenha equações do lugar geométrico dos pontos médios dos segmentos paralelos a A B com uma extremidade em π 1 e outra em π 2 . Descreva o lugar gométrico.

(b) π 1 : x - y + 3 z = 0 e π 2 : x - y + 3 z - 1 = 0

Passo 1

(b) Vamos começar olhando para as equações desses planos. O plano π 1 é:

x 1 - y 1 + 3 z 1 = 0

E o plano π 2 é:

x 2 - y 2 + 3 z 2 - 1 = 0

Logo de cara você pode perceber que as duas equações são bem parecidas! Elas só diferem por aquela constante 1 ali na segunda equação.

Quando a gente tem uma equação do plano com essa forma geral aqui:

a x + b y + c z = 0

O vetor formado por esses coeficientes:

n → 1 = a ,   b ,   c

É normal ao plano!

Vamos essa regra para encontrar os vetores normais a cada um dos planos:

π 1 :                           x - y + 3 z = 0 π 2 :                             x - y + 3 z = 1           ⇒           n → 1 = 1 , - 1,3 n → 2 = 1 , - 1,3

Os dois vetores são proporcionais um ao outro (nesse caso inclusive são iguais). Isso quer dizer que os planos são paralelos.

Como as equações π 1 e π 2 não são proporcionais uma a outra (por conta daquela constante 1 ali na segunda), então eles são paralelos e distintos.

Passo 2

Então tá, a gente tem dois planos paralelos, vamos fazer um desenho aproximado da situação:

Se temos dois planos paralelos é fácil descobrir qual o lugar geométrico formado pelos pontos médios entre eles.

No meio do caminho entre dois planos paralelos, temos simplesmente outro plano paralelo.

Como fica a equação desse plano? Bom, a distância entre os nossos dois planos é constante e igual a 1 . Essa distância é dada pela constante na segunda equação:

π 1 :     x - y + 3 z = 0   π 2 :     x - y + 3 z = 1  

Então a equação no plano no meio do caminho entre esses dois é:

π 3 :   x - y + 3 z = 1 2

Pronto! Essa é a equação que estávamos procurando.

Passo 3

Vamos tentar resolver esse problema por argumentos geométricos.

No caso de cima, a gente viu que, entre qualquer par de pontos P 1 e P 2 , você pode traçar um segmento, e o ponto médio desse segmento está sempre contido naquele plano vermelho do desenho:

Mas percebeu uma coisa? Cada ponto no plano vermelho pode ser “gerado” por infinitos segmentos pontilhados entre em π 1 e π 2 !

O que vai mudar se a gente só usar os segmentos que sejam paralelos a um segmento A B - ?

Todos os pontos vermelhos vão continuar aonde estão! Porque sempre vai haver pelo menos um segmento que seja paralelo a A B - para “gerá-lo”.

Passo 4

Ou seja, quando você acrescenta a condição de que os segmentos tem que ser paralelos a um vetor A B - , nada muda!

E o lugar geométrico ainda é um plano paralelo a π 1 e π 2 :

π 3 :   x - y + 3 z = 1 2

Resposta

O lugar geométrico é um plano paralelo a π 1 e a π 2 , com equação x - y + 3 z = 1 2 .

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