Enunciado

Determine equações da reta que passa por ( - 2,0 , 1 ) , cujo vetor diretor é ortogonal a ( 1 , - 2,1 ) e que seja concorrente com x - 2 3   = y + 1 - 4 = z - 3 3 .

Passo 1

Pessoal, vamos começar escrevendo a reta de uma forma bem genérica

x = x 0 + λ l

y = y 0 + λ m

z = z 0 + λ n

Assim, o vetor diretor dessa reta será v → = ( l , m , n ) . Temos que determinar l , m , n e x 0 , y 0 , z 0 .

Como a reta passa pelo ponto ( - 2,0 , 1 ) , podemos dizer que isso ocorre quando λ = 0 . Nesse caso, temos ( x 0 , y 0 , z 0 ) = ( - 2,0 , 1 ) . Logo, a equação paramétrica se reduz a

x = - 2 + λ l

y = 0 + λ m

z = 1 + λ n

Passo 2

Além disso, a reta é concorrente a x - 2 3   = y + 1 - 4 = z - 3 3 = t . Vamos reescrever essa segunda reta na forma paramétrica:

x - 2 3   = t ⇒ x - 2 = 3 t ⇒ x = 3 t + 2

y + 1 - 4 = t ⇒ y + 1 = - 4 t ⇒ y = - 4 t - 1

z - 3 3 = t ⇒ z - 3 = 3 t ⇒ z = 3 t + 3

Quando duas retas são concorrentes, quer dizer que elas se encontram em um determinado ponto. Então, devemos ter um ponto R comum às duas retas. Qualquer ponto pertencente a essa reta pode ser escrito como R = ( 2 + 3 t , - 1 - 4 t , 3 t + 3 ) .

Passo 3

Vamos usar novamente a informação de que a reta passa por Q = ( - 2,0 , 1 ) .

Então, existe um vetor que sai de Q = ( - 2,0 , 1 ) até R = ( 2 + 3 t , - 1 - 4 t , 3 t + 3 ) , que é ortogonal a ( 1 , - 2,1 ) e paralelo a reta que queremos determinar. Vamos calcular esse vetor:

Q R → = R - Q = ( 2 + 3 t , - 1 - 4 t , 3 t + 3 ) - ( - 2,0 , 1 ) = ( 4 + 3 t , - 1 - 4 t , 3 t + 2 )

Usando a condição de ortogonalidade com o vetor ( 1 , - 2,1 ) , obtemos

( 4 + 3 t , - 1 - 4 t , 3 t + 2 ) ⋅ ( 1 , - 2,1 ) = 0 ⇒ 4 + 3 t - 2 ( - 1 - 4 t ) + 3 t + 2 = 0

⇒ 8 + 14 t = 0 ⇒ t = - 8 14 = - 4 7

Isso quer dizer que a reta que procuramos intercepta a outra reta quando t = - 4 7 , ou seja, no ponto

R = ( 2 + 3 t , - 1 - 4 t , 3 t + 3 ) = ( 2 + 3 ( - 4 7 ) , - 1 - 4 ( - 4 7 ) , 3 ( - 4 7 ) + 3 ) = ( 2 7 , 9 7 , 9 7 )

e o vetor Q R → se torna

Q R → = ( 4 + 3 t , - 1 - 4 t , 3 t + 4 ) = ( 4 + 3 ( - 4 7 ) , - 1 - 4 ( - 4 7 ) , 3 ( - 4 7 ) + 4 ) = ( 16 7 , 9 7 , 16 7 )

O vetor Q R → deve ser paralelo ao vetor diretor da reta que queremos determinar. Então

v → = α ( 16 7 , 9 7 , 16 7 )

Não temos nenhuma restrição sobre esse fator de proporcionalidade, então podemos escolher α = 7 sem nenhum problema. Assim, teremos

v → = ( 16,9 , 2 )

e

x = - 2 + 16 λ

y = 0 + 9 λ

z = 1 + 2 λ

Resposta

x   =   16 λ   - 2 ;

y   =   9 λ ;

z   =   2 λ   + 1

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