Enunciado

Prove que toda reta do plano pode ser representada por uma equação da forma ax+by=c, com a 2 + b 2 = 1 . Represente assim a reta que corta os eixos OX e OY nos pontos p , 0   e   ( 0 , q ) respectivamente.

Passo 1

Faaala, beleza? Então, para fazer essa questão a gente precisa pensar uma forma de relacionar a equação de uma reta qualquer com a equação a 2 + b 2 = 1 . Quando eu olho para essa equação me lembro da igualdade trigonométrica s e n 2 x + cos 2 ⁡ x = 1 , vamos tentar usar isso.

T o m a n d o   a = s e n θ   e   b = c o s θ

Passo 2

Agora vamos substituir esses valores na equação inicial:

a x + b y = c

x s e n θ + y c o s θ = c

Passo 3

Vamos arrumar a nossa equação:

y = c c o s θ - x s e n θ c o s θ

y = c c o s θ - x t g θ

Nós sabemos que qualquer reta pode ser escrita da forma:

y = t x + k ,   o n d e   t = tan ⁡ θ ,   o n d e   θ   é   a   i n c l i n a ç ã o   d a   r e t a

Ou seja, acabamos de mostrar o que gostaríamos, uma vez que:

y = c c o s θ - x t g θ

Pode representar qualquer equação de reta, para ficar mais claro podemos substituir o valor de c por c o s θ   ( d ) e ficará:

y = d - x t g θ

Resposta

Demonstração

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