Enunciado

Supondo que o sistema de coordenadas seja ortogonal, obtenha equações gerais dos seis planos bissetores dos diedros determinados pelos planos coordenados.

Passo 1

Bora lá!

Para que encontremos os planos bissetores dos diedros formados pelos planos coordenados, precisaremos de algumas definições de geometria espacial.

Falando das definições...

Um plano bissetor de um diedro é tal que o divida em dois ângulos iguais. Como os diedros são formados pelos planos coordenados, no caso do exercício, são diedros retos. Obrigatoriamente, todos os planos bissetores terão de conter o ponto A = 0,0 , 0 .

Além disso, para cada par de planos, teremos dois diedros bissetores (o ímpar e o par), conforme na geometria plana. Vamos começar a analisá-los por pares.

Passo 2

Iniciemos pelo diedro determinado pelos planos:

x = 0

y = 0

Tomemos os pontos;

B = 0,1 , 1

C = 1,0 , 1

D = 0,0 , 1

Como os pontos pertencem respectivamente ao primeiro, segundo e a ambos os planos e são coplanares, podemos afirmar que:

B C ^ D = π 2

Passo 3

A partir dos pontos A ,   B e C e sabendo seu ângulo, podemos obter um reta bissetriz do ângulo, que também é bissetora aos planos dados, cuja equação pode ser expressa por:

s : X = 0,0 , 1 + λ ( 1,1 , 0 )

Sabendo que o plano bissetor contém a reta s e passa pela origem, podemos determinar sua equação. Logo:

π 1 : x + y = 0

Achamos a primeira equação do plano.

Acabou? Claro que não, achamos uma de seis equações de nosso interesse. Então, vamos continuar.

Passo 4

Como os dois planos bissetores do diedro dado, digamos π 1 ,   π 2 , são ORTOGONAIS entre si, podemos utilizar a relação entre os vetores normais de dois planos perpendiculares para obter a equação do segundo plano, isto é:

∃ π 2 ⊥ ⇔ n 1 → . n 2 → = 0

Assim, sabendo que o plano também passa pela origem, temos:

π 2 : x - y = 0

Olha aí nossa segunda equação do plano.

Passo 5

De maneira análoga, prosseguiremos com os demais diedros. Agora, vamos partir para o diedro formado pelos planos:

x = 0

z = 0

Tomando os pontos:

B ' = 0,1 , 1

C ' = 1,1 , 0

D ' = ( 0,1 , 0 )

Tais que, pelas mesmas razões anteriores, obedecem:

B ' D ^ ' C ' = π 2

Podemos escrever a reta bissetriz do ângulo formado pelos pontos dada por:

s ' : X = 0,1 , 0 + λ ( 1,0 , 1 )

Pela mesma razão anterior, podemos escrever, a partir da reta e do ponto, a equação do plano bissetor do diedro, na forma:

π 3 : x - z = 0

Já foi metade, sem desânimo, vamos prosseguir.

Como os planos têm de ser penpendiculares, aplicando o mesmo raciocínio, podemos chegar na conclusão que:

π 4 : x + z = 0

Passo 6

Por fim (até que fim), vamos trabalhar com o último diedro, formado pela intersecção dos planos:

y = 0

z = 0

E com os pontos:

B ' ' = 1,0 , 1

C ' ' = 1,0 , 0

D ' ' = ( 1,1 , 0 )

Pela mesma lógica já usada, vamos escolher os pontos que satisfaçam B ' ' C ^ ' ' D ' ' = π 2 . Dessa forma, podemos determinar a equação bissetriz do ângulo, dada por:

s ' ' : X = 1,0 , 0 + λ ( 0,1 , 1 )

A partir de um ponto e de uma equação de uma reta, podemos determinar um plano. Temos, então:

π 5 : y - z = 0

De modo análogo ao anteriormente feito, podemos usar da perpendicularidade dos planos bissetores para deduzir a última equação do plano que falta:

π 6 : y + z = 0

Resposta

Escrevendo as seis equações pedidas, temos:

π 1 : x + y = 0

π 2 : x - y = 0

π 3 : x - z = 0

π 4 : x + z = 0

π 5 : y - z = 0

π 6 : y + z = 0

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