Enunciado

Determine o ponto Q simétrico do ponto P = ( 3 , - 4 , - 6 ) em relação ao plano determinado pelos pontos A = - 6,1 , - 5 , B = ( 7 , - 2 , - 1 ) e C = 10 , - 7,1 .

Passo 1

Fala aeeee, pessoal! Tudo bem? 😊

Para determinarmos o plano π que contém os pontos A , B e C devemos achar o seu vetor n → ,normal ao plano.

Como A , B e C ∈ π . n → será:

n → = A B →   x   A C →

Passo 2

Definindo os vetores:

A B → = ( 13 , - 3,4 )

A C → = ( 16 , - 8,6 )

Assim,

n → = d e t 13 - 3 4 16 - 8 6 i → j → k → = - 104 k → - 18 i → + 64 j → - ( - 32 i → + 78 j → - 48 k → )

n → = ( 14 , - 14 , - 56 )

Passo 3

Sendo n → ⊥ π e A   ∈ π . Temos a equação de π sendo:

π : 14 - 6 - 14 1 - 56 - 5 + d = 0

d = - 182

Assim:

π : 14 x - 14 y - 56 z - 182 = 0 ÷ 14

π : x - y - 4 z - 13 = 0

Passo 4

Agora, que temos a equação do plano vamos atrás do ponto Q .

Q é simétrico de P . Logo deve satisfazer a equação:

d P , π = d ( Q , π )

Passo 5

A reta r é perpendicular ao plano π . Logo, n →   ∥ r .

Como P = 3 , - 4 , - 6 ∈ r , a equação paramétrica da reta será:

r : x = 3 + t y = - 4 - t z = - 6 - 4 t ; t ∈ R

Q é um ponto pertencente à reta, portanto deve satisfazer a equação da mesma.

Q = ( 3 + t , - 4 - t , - 6 - 4 t )

Passo 6

Calculando as distâncias:

d P , π = 3 - - 4 - 4 - 6 - 13 1 + 1 + 16 = 18 18

d Q , π = 3 + t - - 4 - t - 4 - 6 - 4 t - 13 18 = 18 t + 18 18

Portanto:

d P , π = d ( Q , π )

18 = 18 t + 18

t = 0   o u   t = - 2

Se t = 0 , então Q = P = ( 3 , - 4 , - 6 )

Se t = - 2 , então Q = ( 1 , - 2,2 )

Resposta

Q = ( 1 , - 2,2 )

Exercícios de Livros Relacionados

As retas r , s e t determinam, com o plano π , um tetraedro. Calcule a altura relativa à face situada em π , sendo π : x + y - z + 1 = 0r : x = y = z + 1s : x - y = z + 1 = 0t : x - y - z = 1 + x = 1
Calcule a distância do ponto P ao plano π a) P = 0 ,0 ,- 6π : x - 2 y - 2 z - 6 = 0 b) P = 1 ,1 , 15 6π : 4 x - 6 y + 12 z + 21 = 0 c) P = 9 ,2 ,- 2 π : X = 0 ,- 5 ,0 + λ 0 , 5 12 ,1 + μ ( 1 ,0 ,0 ) d
Calcule a distância do ponto de interseção de r e s ao plano determinado por t e h , sendo r : X = 1 ,3 ,4 + λ 1 ,2 ,3 s : X = 1 ,1 ,0 + λ ( - 1 ,0 ,1 ) t : X = 0 ,1 ,0 + λ 0 ,6 ,1h : x = y - 6 z + 8
Obtenha os pontos da reta r : x = 2 - y = y + z que distam 6 do plano π : x - 2 y - z = 1 .
Obtenha uma equação geral do plano bissetor do diedro agudo determinado pelos planos π 1 : x - 2 y + 3 z = 0 e π 2 : 2 x + y - 3 z = 0 .