Enunciado

As retas r , s e t determinam, com o plano π , um tetraedro. Calcule a altura relativa à face situada em π , sendo

π : x + y - z + 1 = 0                   r : x = y = z + 1               s : x - y = z + 1 = 0                   t : x - y - z = 1 + x = 1

Passo 1

Primeiro, vamos encontrar as equações vetoriais de cada reta.

Para a reta r :

x = y

E

z = y - 1

Então

x ,   y ,   z = ( y ,   y ,   y - 1 )

r :   X = 0 ,   0 ,   - 1 + α . ( 1 ,   1 ,   1 )

Para a reta s :

x - y = 0

x = y

E

z + 1 = 0

z = - 1

Então

x ,   y ,   z = ( y ,   y ,   - 1 )

s :   X = 0 ,   0 ,   - 1 + α . ( 1 ,   1 ,   0 )

Para a reta t :

1 + x = 1

x = 0

E

x - y - z = 1

- y - z = 1

y = - z - 1

Então

x ,   y ,   z = ( 0 ,   - z - 1 ,   z )

t :   X = 0 ,   - 1 ,   0 + α . ( 0 ,   - 1 ,   1 )

Passo 2

O que temos nesse exercício é algo assim:

A altura do tetraedro em relação à face π é a distância do ponto A (laranja) até o plano.

Ta bom, mas qual é o ponto A ?? Ele vai ser a intersecção entre as retas. Então, se encontrarmos a intersecção entre r e s , ou entre s e t , como você achar melhor hehe teremos o ponto A . Aí é só calcular a distância dele até o plano, sabendo que a fórmula de distância entre um ponto B = ( e ,   f ,   g ) e um plano π ' :   a x + b y + c z + d = 0 é

d B ,   π ' = a . e + b . f + c . g + d a 2 + b 2 + c ²

Passo 3

Vamos encontrar o ponto A , que é a intersecção entre r e s .

Um ponto genérico de r :   X = 0 ,   0 ,   - 1 + α . ( 1 ,   1 ,   1 ) é

P = ( α ,   α ,   - 1 + α )

E um ponto genérico de s :   X = 0 ,   0 ,   - 1 + α . ( 1 ,   1 ,   0 ) , trocando seu parâmetro para β , é

P ' = ( β , β ,   - 1 )

Vamos igualar esses dois pontos para encontrar a intersecção:

P = P '

α ,   α ,   - 1 + α = ( β , β ,   - 1 )

Igualando as coordenadas, temos

α = β α = β - 1 + α = - 1

Da última equação, temos que α = 0 , e das outras duas, temos que α = β , então, β = 0 .

Substituindo β no ponto genérico P ' = ( β , β ,   - 1 ) , temos que a intersecção entre as retas é

A = ( 0 ,   0 ,   - 1 )

Passo 4

Agora é só calcularmos a distância do ponto A = ( 0 ,   0 ,   - 1 ) até o plano π :   x + y - z + 1 = 0 para sabermos a altura do tetraedro

d B ,   π ' = a . e + b . f + c . g + d a 2 + b 2 + c ²

d A ,   π = 1.0 + 1.0 - 1 . - 1 + 1 1 2 + 1 2 + ( - 1 ) ²

d A ,   π = 2 3 = 2 3

Então, a altura do tetraedro em relação à face π é 2 3 :)

Resposta

2 3

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Descreva o lugar geométrico dos pontos E 3 que eqüidistam dos planos π 1 : x + y - z = 0 , π 2 : x - y - z - 2 = 0 e π 3 : x + y + z = 1 .
Obtenha uma equação geral do plano que dista 1 de O = 0,0 , 0 e contém a reta perpendicular comum às retas r : X = 2,12 + λ 1,1 , 1 e s : X = - 1,0 , 1 + μ 1,1 , 2 .
Achar a distância da origem a cada um dos planosa) π : 3 x - 4 y + 20 = 0
Achar a distância do ponto P ( 2 ,- 3 ,5 ) ao plano π : 3 x + 2 y + 6 z - 2 = 0
Determinar a distância do ponto P = ( 2 ,- 1 ,2 ) a cada um dos planos:a) π : 2 x - 2 y - z + 3 = 0