Enunciado

Obtenha equações do lugar geométrico dos pontos médios dos segmentos com uma extremidade em r e outra em s e descreva-o geometricamente.

(c) r :     X = 1 ,   0 ,   0 + λ - 1 ,   0 ,   1                     s : X = 0 ,   0 ,   1 + μ ( 2 ,   1 ,   1 )

Passo 1

O exercício nos fornece duas retas r :     X = 1 ,   0 ,   0 + λ - 1 ,   0 ,   1   e   s : X = 0 ,   0 ,   1 + μ ( 2 ,   1 ,   1 ) e pede para calcularmos a equação do lugar geométrico gerado pelos pontos médios dos segmentos que têm uma extremidade em uma reta e a outra em outra.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar achando um ponto genérico P pertencente a r :

P = 1 ,   0 ,   0 + λ - 1 ,   0 ,   1

P = ( 1 - λ ,   0 ,   λ )

Vamos achar, também, um ponto genérico Q pertencente a s :

Q = 0 ,   0 ,   1 + μ 2 ,   1 ,   1

Q = ( 2 μ ,   μ ,   1 + μ )

Para “terminarmos”, temos que os pontos médios dos segmentos P Q → terão a seguinte forma:

M = P x + Q x 2 , P y + Q y 2 , P z + Q z 2

M = 1 - λ + 2 μ 2 ,   μ 2 ,   λ + 1 + μ 2

Passo 3

Notem, que M depende de duas variáveis:

M = 1 2 ,   0 , 1 2 + λ - 1 ,   0 ,   1 + μ 2 ,   1 ,   1

Passo 4

Para achar a equação do plano, vamos achar o vetor normal, pois sabemos que um plano genérico a x + b y + c z + d = 0 tem como vetor normar n → = ( a ,   b ,   c ) , certo? Para acharmos o vetor normal, temos que fazer o produto vetorial dos vetores que geram o plano:

w → × v → = i ,   j ,   k

w → × v → = i j k - 1 0 1 2 2 1

w → × v → = - 1 ,   3 , - 1

Passo 5

Agora, vamos aplicar os valores usando como ponto de referência o ponto da equação vetorial:

- 1 . x - 1 2 + 3 . y - 1 . z - 1 2 = 0

x - 1 2 + 3 y - z + 1 2 = 0

Deixando mais bonitinho, ficamos finalmente com a equação:

x - 3 y + z - 1 = 0

Resposta

x - 3 y + z - 1 = 0

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Determine um vetor cuja direção seja paralela à reta dada. x - 2 y = 3
Determine um vetor cuja direção seja paralela à reta dada. x + y = 1
Determine a equação vetorial da reta que passa pelo ponto dado e que seja perpendicular à reta dada. 1,2 e 2 x + y = 3
Determine um vetor cuja direção seja paralela à reta dada. x + 2 y = 3
Determine a equação do plano que passa pelo ponto dado e que seja perpendicular ao plano dado. 0,1 , - 1 e x + 2 y - z = 3