Enunciado

Determine a projeção do ponto P = ( 1 ,   4 ,   0 ) sobre o plano π : x + y - 2 z + 1 = 0 , paralelamente à reta r : X = 0 ,   0 ,   0 + λ   ( 1 ,   4 ,   1 ) .

Passo 1

Nesse problema queremos a projeção do ponto P = ( 1 ,   4 ,   0 ) sobre o plano π : x + y - 2 z + 1 = 0 . Mas cuidado, aqui não queremos a projeção ortogonal, queremos a projeção que seja paralela à reta r : X = 0 ,   0 ,   0 + λ   ( 1 ,   4 ,   1 ) .

Queremos achar um ponto A = ( x ,   y ,   z ) que esteja no plano, portanto

y = - x + 2 z - 1

Assim,

A = x ,   - x + 2 z - 1 ,   z

Desta forma, podemos achar o vetor

A P → = P - A = ( 1 - x ,   x - 2 z + 5 ,   - z )

Passo 2

Como A deve ser a projeção de P paralelamente à reta r cujo vetor diretor é u → = ( 1 ,   4 ,   1 ) , devemos ter que   A P → é paralelo a u → . Portanto,

A P → = λ   u →

Portanto,

1 - x = λ x - 2 z + 5 = 4 λ - z = λ

Usando a ultima equação nas duas primeiras, obtemos

1 - x = - z x - 2 z + 5 = - 4 z ⇒ z = x - 1 x + 2 z + 5 = 0

Substituindo a primeira na segunda:

x + 2 x - 2 + 5 = 0 ⇒ x = - 1

Assim,

z = - 1 - 1 = - 2

y = - x + 2 z - 1 = 1 - 4 - 1 = - 4

Portanto, o ponto procurado é

A = ( - 1 ,   - 4 ,   - 2 )

Resposta

( - 1 ,   - 4 ,   - 2 )

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