Enunciado

Existe uma reta paralela a π : X = 0 ,   0 ,   0 + λ   1 ,   - 1 ,   - 1 + μ   ( 3 ,   0 ,   - 1 ) , que contenha P = ( 2 ,   2 ,   1 ) e seja concorrete com r : X = 1 ,   0 ,   0 + γ   ( 2 ,   1 ,   0 ) ? Por quê?

Passo 1

Primeiro vamos achar o vetor normal do plano π :

n → = 1 ,   - 1 ,   - 1 ∧ 3 ,   0 ,   - 1 = i → j → k → 1 - 1 - 1 3 0 - 1 = ( 1 ,   - 2 ,   3 )

Assim, a equação geral do plano π é do tipo

x - 2 y + 3 z + d = 0

Como ele deve conter o ponto ( 0 ,   0 ,   0 ) , temos que d = 0 :

x - 2 y + 3 z = 0

Passo 2

Para verificar se existe alguma reta que seja paralela π , contenha P e seja concorrente com a reta r , vamos estudar o plano que contém r e P . Um dos vetores diretores desse plano é u → = ( 2 ,   1 ,   0 ) , o outro é

v → = P - 1 ,   0 ,   0 = ( 1 ,   2 ,   1 )

Assim, o vetor normal desse plano é

n → = u → ∧ v → = i → j → k → 2 1 0 1 2 1 = ( 1 ,   - 2 ,   3 )

Note que esse vetor normal é o mesmo do plano π . Portanto, esses planos são paralelos. Mas note que o ponto P = ( 2 ,   2 ,   1 ) não satisfaz a equação do plano π . Sendo assim, o plano que contém P e a reta r é paralelo distinto do plano π .

Desta forma, existem infinitas retas nesse novo plano que passam por P e são concorrentes com a reta r . Como os plano são paralelos, todas essas retas são paralelas ao plano π . Portanto, existem infinitas retas satisfazendo o que o enunciado pediu!

Resposta

Infinitas retas.

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