Enunciado

São dadas as retas:

⎧ x   =   1   +   λ

r   ⎢ y   = 1   + 2 λ e

                ⎩ z   =   2   - λ

⎧ x   = 3   - α

  s   ⎢ y   = 4   - α

                  ⎩   z   = - 1 +   2 α

  1. Mostre que r e s encontram-se num ponto P .
  2. Dê equações da reta t , que passa por P e é perpendicular a r e a s .

Passo 1

Fala, galera! Tudo tranquilo? Então vamos lá para mais uma questão:

  1. Para mostrar que r e s encontram-se num ponto P = ( x , y , z ) temos que igualar as equações paramétricas das duas retas e mostrar que existem valores possíveis dos parâmetros λ e α :
  2. x   =   1   +   λ = 3   - α ⇒ λ = 2   - α

    y   = 1   + 2 λ = 4   - α ⇒ 2 λ = 3   - α

    z   =   2   - λ = - 1 +   2 α ⇒ λ = 3 -   2 α

    Podemos subtrair a primeira equação da segunda:

    2 λ - λ = 3   - α - ( 2   - α ) ⇒ λ = 1

    Agora, substituímos λ = 1 na primeira equação:

    λ = 2   - α ⇒ α = 2 - λ = 2 - 1 = 1

    Para checar se essa solução está ok, vamos substituir λ = α = 1 na terceira equação:

    1 = λ = 3 -   2 α = 3 - 2 = 1

    Então, vemos que de fato as duas retas r e s encontram-se num ponto P . Esse ponto é dado fazendo λ = 1 na reta r ou α = 1 na reta s . Usando a primeira opção, ficamos com

    x   =   1   +   λ = 2

    y   = 1   + 2 λ = 3

    z   =   2   - λ = 1

    Assim, o ponto de encontro das duas retas é P = ( 2,3 , 1 ) .

    Passo 2

  3. Como t passa por P , sabemos que sua equação paramétrica será dada por:

x = 2 + l t

y = 3 + m t

z = 1 + n t

Nesse caso, a reta t coincide com P quando t = 0 . Como a reta t é perpendicular a r e a s , então o vetor diretor da reta t é perpendicular ao vetores diretores de r e s . Temos

v → t = ( l , m , n )

v → r = ( 1,2 , - 1 )

v → s = ( - 1 , - 1,2 )

Usando a condição de ortogonalidade, obtemos

v → t ⋅ v → r = 0 ⇒ ( l , m , n ) ⋅ ( 1,2 , - 1 ) = 0 ⇒ l + 2 m - n = 0 ⇒ n = l + 2 m

v → t ⋅ v → s = 0 ⇒ ( l , m , n ) ⋅ ( - 1 , - 1,2 ) = 0 ⇒ - l - m + 2 n = 0

Substituindo n = l + 2 m na segunda equação, obtemos

- l - m + 2 n = - l - m + 2 ( l + 2 m ) = l + 3 m = 0 ⇒ m = - l 3 ,   n = l - 2 l 3 = l 3

Assim, a reta t se torna:

x = 2 + l t

y = 3 - l 3 t

z = 1 + l 3 t

Não temos mais nenhuma condição restringindo o valor de   l , então podemos escolher   l = 3 sem nenhum problema. Assim, ficamos com

x = 2 + 3   t

y = 3 - t

z = 1 + t

Resposta

  1. P = ( 2,3 , 1 )
  2. x = 2 + 3 t ,   y = 3 - t ,   z = 1 + t

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