Enunciado

Mostre que vale a identidade dada com vetores de qualquer espeço com produto interno.

u + v 2 + u - v 2 = 2 u 2 + 2 v 2

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Seja u e v qualquer vetor no espaço interno do produto.

O objetivo é mostrar que:

u + v 2 + u - v 2 = 2 u 2 + 2 v 2

Para qualquer vetor u , temos que:

u = u , u

Ou:

u 2 = u , u

Portanto:

u + v 2 + u - v 2 = u + v , u + v + u - v , u - v

Usando a propriedade de que:

u , v + w = u , v + u , w

u , v - w = u , v - u , w

Ou:

u + v , w = u , w + v , w

u - v , w = u , w - v , w

Portanto:

u + v , u + v = u + v , u + u + v , v

u + v , u + v = u , u + v , u + u , v + v , v

u + v , u + v = u 2 + 2 u , v + v 2

E:

u - v , u - v = u - v , u + u - v , v

u - v , u - v = u , u - v , u + u , v - v , v

u - v , u - v = u 2 + v 2

Passo 2

Substituindo os valores obtidos, temos que:

u + v 2 + u - v 2 = u + v , u + v + u - v , u - v

u + v 2 + u - v 2 = u 2 + 2 u , v + v 2 + u 2 + v 2

u + v 2 + u - v 2 = 2 u 2 + 2 u , v + 2 v 2

Portanto, a identidade:

u + v 2 + u - v 2 = 2 u 2 + 2 u , v + 2 v 2

É válida para quaisquer vetores em qualquer espaço interno do produto.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Use a Fórmula 4 para mostrar que u , v = 5 u 1 v 1 - u 1 v 2 - u 2 v 1 + 10 u 2 v 2 é o produto interno em R 2 gerado por A = 2 - 11 3 Use o produto interno da parte a para calcular u , v com u = 0 ,
Repita o E x e r c í c i o1 í com o produto interno euclidiano ponderado u , v = 2 u 1 v 1 + 3 u 2 v 2 .
Use os produtos internos do E x e r c í c i o18 í para encontrar d u , v com u = - 1,2 e v = 2,5 .
Suponha que P 2 tenha o produto interno do E x e m p l o7 . Encontre d p , q com p = 3 - x + x 2 ,q = 2 + 5 x 2
Em cada parte, use o produto interno: f , g = ∫ 0 1 f x g x d x Em C 0,1 para calcular f , g . f = cos ⁡ 2 π x , g = sen ⁡ 2 π x f = x , g = e x f = tg ⁡ π 4 x ,g = 1