Enunciado

Seja D = λ 1 0 … 0 0 λ 2 … 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 … 0 λ n uma matriz diagonal n   x   n , isto é, os elementos que estão fora da diagonal são iguais a zero. Seja A = a 11 a 12 … a 1 n a 21 a 22 … a 2 n ⋮ ⋮ … ⋮ a n 1 a n 2 … a n n . (a)Mostre que o produto A D é obtido da matriz A multiplicando-se cada coluna j por λ j , ou seja, se A = A 1 A 2 … A n , em que A j = a 1 j ⋮ a n j é a coluna j de A , então A D = λ 1 A 1 λ 2 A 2 … λ n A n .

Passo 1

Fala ae, galera! Tudo na paz? 😊

O produto entre as matrizes é dado por:

A D = a 11 a 12 … a 1 n a 21 a 22 … a 2 n ⋮ ⋮ … ⋮ a n 1 a n 2 … a n n λ 1 0 … 0 0 λ 2 … 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 … 0 λ n

Passo 2

Realizando a multiplicação matricial, temos:

A D = λ 1 a 11 + a 12 0 + … + a 1 n 0 a 11 0 + λ 2 a 12 + … + a 1 n 0 … a 11 0 + a 12 0 + … + λ n a 1 n λ 1 a 2 1 + a 2 2 0 + … + a 2 n 0 a 2 1 0 + λ 2 a 2 2 + … + a 2 n 0 … a 21 0 + 0 a 22 + … + λ n a 2 n ⋮ ⋮ … ⋮ λ 1 a n 1 + a n 2 0 + … + a n n 0 a n 1 0 + λ 2 a n 2 + … + a n n 0 … a n 1 0 + a n 2 0 + … + λ n a n n

Passo 3

Portanto, o produto matricial A D é:

A D = λ 1 A 1 λ 2 A 2 … λ n A n

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o

Exercícios de Livros Relacionados

Sejam A e B matrizes mxp e pxn , respectivamente. (b)Mostre que a i -ésima linha do produto A B é igual ao produto A i B , em que A i = a i 1 … a i p é a i -ésima linha de A , ou seja, se A = A 1 A 2
(a)Determine todas as matrizes A , 2 x 2 , que comutam com toda matriz B , 2 x 2 , ou seja, tais que A B = B A , para toda matriz B ,2 x 2 .
Se A é uma matriz tal que A 2 = 0 , então A = 0 ? Justifique.
Seja D = λ 1 0 … 0 0 λ 2 … 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 … 0 λ n uma matriz diagonal nxn , isto é, os elementos que estão fora da diagonal são iguais a zero. Seja A = a 11 a 12 … a 1 n a 21 a 22 … a 2 n ⋮ ⋮ … ⋮ a n 1 a
Dizemos que uma matriz A , nxn , é simétrica se A t = A e é anti-simétrica se A t = - A . (c)Mostre que se A e B são simétricas, então A B é simétrica se, e somente se, A B = B A