Enunciado

Dizemos que uma matriz A, nxn, é simétrica se A t = A e é anti-simétrica se A t = - A .

  1. Mostre que se A é simétrica, então a i j = a j i , para i, j = 1,... n e que se A é anti-simétrica, então a i j = - a j i para i, j = 1,... n. Portanto, os elementos da diagonal principal de uma matriz anti-simétrica são iguais a zero.

Passo 1

Dada uma matriz A quadrada:

A =   a 11 a 12 a 21 a 22 ⋯ ⋯ a 1 n a 2 n     ⋮   ⋯ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n

E a transposta de A pode ser escrita como:

A t = a 11 a 21 a 12 a 22 ⋯ ⋯ a n 1 a n 2     ⋮   ⋯ ⋮ a 1 n a 2 n ⋯ a n n   .

Passo 2

Se A é simétrica, então:

a 11 a 12 a 21 a 22 ⋯ ⋯ a 1 n a 2 n     ⋮   ⋯ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n =   a 11 a 21 a 12 a 22 ⋯ ⋯ a n 1 a n 2     ⋮   ⋯ ⋮ a 1 n a 2 n ⋯ a n n   .

Por comparação:

a 11 = a 11

a 12 =   a 21

a 1 n = a n 1

...

Ou seja, a i j = a j i .

Passo 3

Se A é anti-simétrica:

a 11 a 21 a 12 a 22 ⋯ ⋯ a n 1 a n 2     ⋮   ⋯ ⋮ a 1 n a 2 n ⋯ a n n = - a 11 - a 12 - a 21 - a 22 ⋯ ⋯ - a 1 n - a 2 n     ⋮   ⋯ ⋮ - a n 1 - a n 2 ⋯ - a n n

Por comparação:

a 11 = - a 11

  a 21 = - a 12

a n 1 = - a 1 n

...

No caso dos elementos da diagonal principal (como a 11 ), a única forma da igualdade apontada ser real, sem módulo, é que esses elementos ( a i i ) sejam iguais a 0.

Ou seja, a j i = - a i j , que é equivalente à a i j = - a j i , com a i i = 0 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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