Enunciado

Dizemos que uma matriz A n × n é diagonalizável se seu operador associado T A : R n → R n for diagonalizável, ou seja, A é diagonalizável se, e somente se A admitir n autovetores L I . Baseado nisto, verifique quais das matrizes dos exercícios 9 a 18 da seção 6.3 são diagonalizáveis.

1 8 )   A = 2 0 1 0 0 2 0 1 12 0 3 0 0 - 1 0 0

Passo 1

Pra gente ver se o operador é diagonalizável, precisamos calcular os autovalores e autovetores dele. E aí, se a matriz do operador for de ordem n e acharmos n autovetores, então podemos dizer que o operador é diagonalizável, belezura?

A matriz da nossa transformação é:

A = 2 0 1 0 0 2 0 1 12 0 3 0 0 - 1 0 0

Passo 2

Beleza, agora a gente teria que calcular os autovalores e os autovetores, mas vamos aproveitar o trabalho que já tivemos lá na seção 6.3 . A gente já calculou tudo isso! Mas só pra relembrar, vamos ver o passo a passo de como faria. Primeiro a gente calcula o determinante de T - λ I . Isso vai dar uma equação polinomial que tem os autovalores como raízes. Depois a gente substitui cada um deles na equação:

T - λ I v = 0

Com isso a gente vai encontrar os autovetores!

Nessa questão,

2 - λ 0 1 0 0 2 - λ 0 1 12 0 3 - λ 0 0 - 1 0 0 - λ = 0

Desenvolvendo pelo La Place, vamos chegar em:

λ - 1 2 λ + 1 λ - 6 = 0

Isso vai nos dar três autovalores:

λ = 1

λ = - 1

λ = 6

Agora a gente substitui lá e encontra o autovetor, mas vamos aproveitar que já temos a resposta lá da outra seção:

λ = 1 : v = 0 ,   - 1 ,   0 ,   1

λ = 6 : v = ( 1 ,   0 ,   4 ,   0 )

λ = - 1 : v = ( - 1 ,   0 ,   3 ,   0 )

Passo 3

E então, pra concluir, nossa matriz é de ordem 4 , e encontramos 3 autovetores, certo? Portanto, a gente pode dizer que o nosso operador não é diagonalizável!

Resposta

Não é diagonalizável.

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