Enunciado

Dizemos que uma matriz A n × n é diagonalizável se seu operador associado T A : R n → R n for diagonalizável, ou seja, A é diagonalizável se, e somente se A admitir n autovetores L I . Baseado nisto, verifique quais das matrizes dos exercícios 9 a 18 da seção 6.3 são diagonalizáveis.

1 2 )   A = 3 - 3 - 4 0 3 5 0 0 - 1

Passo 1

Pra gente ver se o operador é diagonalizável, precisamos calcular os autovalores e autovetores dele. E aí, se a matriz do operador for de ordem n e acharmos n autovetores, então podemos dizer que o operador é diagonalizável, belezura?

A matriz da nossa transformação é:

A = 3 - 3 - 4 0 3 5 0 0 - 1

Passo 2

Beleza, agora a gente teria que calcular os autovalores e os autovetores, mas vamos aproveitar o trabalho que já tivemos lá na seção 6.3 . A gente já calculou tudo isso! Mas só pra relembrar, vamos ver o passo a passo de como faria. Primeiro a gente calcula o determinante de T - λ I . Isso vai dar uma equação polinomial que tem os autovalores como raízes. Depois a gente substitui cada um deles na equação:

T - λ I v = 0

Com isso a gente vai encontrar os autovetores!

Nessa questão,

3 - λ - 3 - 4 0 3 - λ 5 0 0 - 1 - λ = 0

Como a matriz é triangular, o determinante é o produto da diagonal principal!

3 - λ 2 ( - 1 - λ ) = 0

Então temos dois autovalores:

λ = - 1

λ = 3

Agora a gente substitui lá e encontra o autovetor, mas vamos aproveitar que já temos a resposta lá da outra seção:

λ = 3 : v = 1 ,   0 ,   0

λ = - 1 : v = ( - 1 ,   20 ,   - 16 )

Passo 3

E então, pra concluir, nossa matriz é de ordem 3 , e encontramos só 2 autovetores, certo? Portanto, a gente pode dizer que o nosso operador não é diagonalizável.

Resposta

Não é diagonalizável.

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