Enunciado

Seja A uma matriz 3 × 3 triangular superior, com todos os seus elimentos acima da diagonal distintos e não nulos.

A = a b c 0 d e 0 0 f

  1. Quais são os autovalores e autovetores de A ?
  2. Qual é o polinômio minimal de A ?

Passo 1

  1. A gente já tá careca de saber como é que calcula os autovalores e autovetores, então bora lá!
  2. det ⁡ A - λ I = 0

    a - λ b c 0 d - λ e 0 0 f - λ = 0

    Essa matriz é triangular, então o determinante é igual ao produto dos termos da diagonal principal:

    a - λ d - λ f - λ = 0

    Então os autovalores são:

    λ = a

    λ = d

    λ = f

    Passo 2

    Agora vamos pros autovetores. A gente vai substituir na equação:

    A - λ I v = 0

    Para λ = a :

    0 b c 0 d - a e 0 0 f - a x y z = 0 0 0

    Resolvendo,

    b y + c z = 0 d - a y + e z = 0 f - a z = 0

    Da última, z = 0 , e aí substituindo nas outras, y também é 0 . Enquanto isso, o x tá livrinho, então o nosso autovetor vai ser:

    v 1 = ( 1 ,   0 ,   0 )

    Para λ = d :

    a - d b c 0 0 e 0 0 f - d x y z = 0 0 0

    Resolvendo,

    a - d x + b y + c z = 0 e z = 0 f - d z = 0

    Da segunda e da terceira, z = 0 , e aí, na primeira:

    a - d x + b y = 0

    x = - b a - d y

    E aí o autovetor é:

    v 2 = - b a - d ,   1 ,   0

    Para λ = f :

    a - f b c 0 d - f e 0 0 0 x y z = 0 0 0

    Da segunda equação:

    d - f y + e z = 0

    y = - e d - f z

    E aí, jogando na primeira:

    a - f x - b e d - f z + c z = 0

    Resolvendo essa equação em x :

    a - f x = b e d - f - c z

    E aí, arrumando a casa:

    x = - c d + c f + b e ( a - f ) ( d - f ) z

    E aí o autovetor é:

    v 3 = - c d + c f + b e a - f d - f ,   - e d - f ,   1  

    Passo 3

  3. Já vimos que a matriz é diagonalizável, já que ela tem 3 autovetores distintos, né? Então pelo teorema 7.2 . 6 , o polinômio minimal vai ser:

p x = ( x - a ) ( x - d ) ( x - f )

Resposta

  1. Autovalores: λ = a , λ = d , λ = f .
  2. Autovetores:

    v 1 = ( 1 ,   0 ,   0 )

    v 2 = - b a - d ,   1 ,   0

    v 3 = - c d + c f + b e a - f d - f ,   - e d - f ,   1  

  3. p x = ( x - a ) ( x - d ) ( x - f )
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