Enunciado

Dois vértices consecutivos de um paralelogramo são A 2 ,   - 4 ,   0   e   B 1 ,   - 3 ,   - 1 , e o ponto médio das diagonais é M ( 3 ,   2 , - 2 ) . Calcular a área do paralelogramo.

Passo 1

Antes de colocarmos a mão na massa, precisamos relembrar como se calcula a área do paralelogramo, certo?

Para encontrarmos a área, devemos escolher dois vetores NÃO paralelos e fazer o módulo do produto vetorial entre eles.

Ainda está meio confuso? Vamos fazer um esboço do paralelogramo do nosso problema para nos ajudar, onde M representa o ponto médio e as linhas tracejadas as nossas diagonais.

Logo, como devemos escolher dois vetores NÃO paralelos, a área poderá ser dada por A B → × A D → ,   | B A → × B C → |...

Passo 2

Conhecemos os pontos A e B , logo precisamos do ponto C ou D . Aqui na nossa resolução, vamos optar por achar o ponto C , beleza?

Temos um ponto M que é o ponto médio das diagonais, acreditem, ele não está ali atoa. Mas para usarmos esse tal ponto M , precisamos saber o quem vem a ser um ponto médio.

Direto ao ponto: podemos definir o ponto médio, como o ponto que divide o segmento de reta exatamente no meio, ou seja:

M = A + C 2

Conhecemos A e M , portanto, substituindo na expressão acima, podemos achar C :

M = A + C 2 ⇒ C = 2 M - A

C = 2 3 ,   2 ,   - 2 - 2 , - 4 ,   0

C = 6 ,   4 , - 4 - 2 , - 4 ,   0 = ( 4 ,   8 , - 4 )

Passo 3

Dado que A 2 , - 4 ,   0 ,   B ( 1 , - 3 , - 1 ) e C ( 4 ,   8 , - 4 ) , vamos encontrar os vetores B A → e B C → :

B A → = A - B = 2 , - 4 ,   0 - 1 , - 3 , - 1 = 1 ,   - 1,1

B C → = C - B = 4 ,   8 , - 4 - 1 , - 3 ,   - 1 = ( 3 ,   11 , - 3 )

Passo 4

Por fim, para calcularmos a área do paralelogramo, vamos utilizar o módulo do produto vetorial de B A → e B C → :

B A → × B C → = i → j → k → 1 - 1 1 3 11 - 3 = 3 i → + 3 j → + 11 k → - 11 i → - 3 j → - 3 k → = - 8 i → - 6 j → + 14 k →

B A → × B C → = ( - 8 ) 2 + 6 2 + 14 2 = 64 + 36 + 196 = 2 74

Portanto, a área do paralelogramo é 2 74 . 😉

Resposta

A área do paralelogramo é 2 74 .

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