Enunciado

Seja v = 5 j e seja u um vetor com comprimento 3 com início na origem e que gira no plano x y . Determine o máximo e o mínimo valor possível para u × v . Qual a direção e o sentido de u × v ?

Passo 1

Sabemos que

u × v = u v sen ⁡ θ       ,   0 < θ ≤ π

E que nesse intervalo,

0 ≤ sen ⁡ θ ≤ 1

Assim, o máximo valor para esse produto vetorial é quando

sin ⁡ θ = 1

E o menor valor possível é quando

sin ⁡ θ = 0

Vamos analisar cada um desses casos.

Passo 2

Para o caso de sin ⁡ θ = 1

Temos

u × v = u v sen ⁡ θ = u v . 1 = 3.5 = 15

E

θ = π 2

Isso significa que os dois vetores são perpendiculares, ou seja, se o vetor v = 5 j o vetor u será u = ± 3 i .

Passo 3

Para o caso de

sin ⁡ θ = 0

Temos

u × v = u v sen ⁡ θ = u v . 0 = 0

E

θ = 0 ou θ = π

Isso significa que os dois vetores são paralelos, ou seja, se o vetor v = 5 j o vetor u será u = 3 j , quando θ = 0 , e depois u = - 3 j , quando θ = π .

Passo 4

Beleza, mas a gente ainda tem que pensar na direção e sentido do vetor u × v . Para isso, vamos pensar na regra da mão direita.

u e v são vetores que estão no mesmo plano, o plano x y , sendo que u gira, e θ é o ângulo entre eles.

Sabemos que o vetor u × v é simultaneamente perpendicular a ambos os vetores, por isso vamos usar a regra da mão direita.

Agora vamos pensar, com nossa mão direita a postos!

Quando u aponta na mesma direção que v , temos que u = 3 j e u × v = 0 . A medida que u gira no sentido anti-horário no plano x y , o vetor u × v aponta para o sentido negativo do eixo z e seu módulo vai crescendo de zero até u × v = 15 , quando θ = π 2 e, nesse caso, u e v são perpendiculares e u = - 3 i , já que os vetores começaram paralelos bem em cima do eixo y positivo.

A medida que u continua rodando no sentido anti-horario, u × v continua apontando no sentido negativo do eixo z , até que θ = π e o módulo de u × v = 0 .

Depois disso, a direção de u × v passa a apontar para a parte positiva do eixo z e u × v começa a aumentar de novo, até atingir u × v = 15 quando θ = π 2 e u = 3 i .

E, pra fechar a volta completa, o vetor u continua girando até se encontrar novamente com o vetor v no eixo y positivo, ou seja, u = 3 j , e u × v = 0 .

Resposta

Máximo:

u × v = 15

Mínimo:

u × v = 0

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Encontre a →∙ b →
Se u → é um vetor unitário, encontre u → ∙ v → e u → ∙ w → .
Determine se os vetores a seguir são perpendiculares, paralelos ou nenhum. a = 4,5 , - 2 b = ( 3 , - 1,5 )
Determine se os vetores a seguir são perpendiculares, paralelos ou nenhum. a = 3 , - 1,3 b = ( 5,9 , - 2 )
Determine se os vetores a seguir são perpendiculares, paralelos ou nenhum. u = - 5,4 , - 2 v = ( 3,4 , - 1 )