Enunciado

O dono de um negócio em rápida expansão descobre que, nos cinco primeiros meses do ano, as vendas (em milhares) foram $ 4,0 ;   $ 4,4 ;   $ 5,2 ;   $ 6,4   e   $ 8,0 . O dono coloca esses dados num gráfico e conjectura que, pelo resto do ano, a curva de vendas pode ser aproximada por um polinômio quadrático. Encontre o polinômio quadrático de ajuste de mínimos quadrados à curva de vendas e use-o para projetar as vendas no décimo segundo mês do ano.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

O problema matemático é ajustar uma curva quadrática s = a 0 + a 1 t + a 2 t 2 .

A partir dos dados, vamos considerar 5 pontos. 1 ,   4 ,   0 , 2 ,   4 ,   4 , 3 ,   5 ,   2 , 4 ,   6 ,   4 e 5 ,   8 ,   0 .

Temos então que:

M = 1 1 1 1 1       1 2 3 4 5       1 4 9 16 25

E:

y = 4,0 4,4 5,2 6,4 8,0

Temos que:

M T M = 1 1 1       1 2 4       1 3 9       1 4 16       1 5 25 1 1 1 1 1       1 2 3 4 5       1 4 9 16 25

M T M = 5 15 55       15 55 225       55 225 979

Vamos encontrar a sua inversa a partir de operações de linha:

M T M - 1 = 5 15 55       15 55 225       55 225 979       ⋮ ⋮ ⋮       1 0 0       0 1 0       0 0 1

Passo 2

Multiplicando a primeira coluna por 1 5 temos que:

5 15 55       15 55 225       55 225 979       ⋮ ⋮ ⋮       1 0 0       0 1 0       0 0 1 → 1 15 55       3 55 225       11 225 979       ⋮ ⋮ ⋮       1 5 0 0       0 1 0       0 0 1

Vamos multiplicar a primeira coluna por - 15 e somar com a segunda coluna. Teremos:

1 15 55       3 55 225       11 225 979       ⋮ ⋮ ⋮       1 5 0 0       0 1 0       0 0 1 → 1 0 55       3 10 225       11 60 979       ⋮ ⋮ ⋮       1 / 5 - 3 0       0 1 0       0 0 1

Vamos multiplicar a primeira coluna por - 55 e somar com a terceira coluna:

1 0 55       3 10 225       11 60 979       ⋮ ⋮ ⋮       1 / 5 - 3 0       0 1 0       0 0 1 → 1 0 0       3 10 60       11 60 374       ⋮ ⋮ ⋮       1 / 5 - 3 - 11       0 1 0       0 0 1

Vamos multiplicar a segunda coluna por 1 10 :

1 0 0       3 10 60       11 60 374       ⋮ ⋮ ⋮       1 / 5 - 3 - 11       0 1 0       0 0 1 → 1 0 0       3 1 60       11 6 374       ⋮ ⋮ ⋮       1 / 5 - 3 / 10 - 11       0 1 / 10 0       0 0 1

Agora vamos multiplicar a segunda coluna por - 60 e somar com a terceira coluna:

1 0 0       3 1 60       11 6 374       ⋮ ⋮ ⋮       1 / 5 - 3 / 10 - 11       0 1 / 10 0       0 0 1 → 1 0 0       3 1 0       11 6 14       ⋮ ⋮ ⋮       1 / 5 - 3 / 10 7       0 1 / 10 - 6       0 0 1

Vamos multiplicar a terceira coluna por 1 14 . Teremos:

1 0 0       3 1 0       11 6 14       ⋮ ⋮ ⋮       1 / 5 - 3 / 10 7       0 1 / 10 - 6       0 0 1 → 1 0 0       3 1 0       11 6 1       ⋮ ⋮ ⋮       1 / 5 - 3 / 10 1 / 2       0 1 / 10 - 3 / 7       0 0 1 / 14

Multiplicando a terceira coluna por - 6 e somando com a segunda coluna teremos:

1 0 0       3 1 0       11 6 1       ⋮ ⋮ ⋮       1 / 5 - 3 / 10 1 / 2       0 1 / 10 - 3 / 7       0 0 1 / 14 → 1 0 0       3 1 0       11 0 1       ⋮ ⋮ ⋮       1 / 5 - 33 / 10 1 / 2       0 187 / 10 - 3 / 7       0 - 3 / 7 1 / 14

Multiplicando a terceira coluna por - 11 e somando à primeira, temos:

1 0 0       3 1 0       11 0 1       ⋮ ⋮ ⋮       1 / 5 - 33 / 10 1 / 2       0 187 / 10 - 3 / 7       0 - 3 / 7 1 / 14 → 1 0 0       3 1 0       0 0 1       ⋮ ⋮ ⋮       - 55 / 10 - 33 / 10 1 / 2       33 / 7 187 / 10 - 3 / 7       - 11 / 14 - 3 / 7 1 / 14

E por último, mas não menos importante, vamos multiplicar a segunda coluna por - 3 e somar à primeira coluna:

1 0 0       3 1 0       0 0 1       ⋮ ⋮ ⋮       - 55 / 10 - 33 / 10 1 / 2       33 / 7 187 / 10 - 3 / 7       - 11 / 14 - 3 / 7 1 / 14 → 1 0 0       0 1 0       0 0 1       ⋮ ⋮ ⋮       - 23 / 5 - 33 / 10 1 / 2       33 / 10 187 / 10 - 3 / 7       1 / 2 - 3 / 7 1 / 14

A inversa será:

M T M - 1 = - 23 5 - 33 10 1 2       33 10 187 10 - 3 7       1 2 - 3 7 1 14

Passo 3

Agora vamos aplicar o ajuste linear. Temos que:

V * = M T M - 1 M T y

Substituindo, teremos:

V * = - 23 5 - 33 10 1 2       33 10 187 10 - 3 7       1 2 - 3 7 1 14 1 1 1       1 2 4       1 3 9       1 4 16       1 5 25 4,0 4,4 5,2 6,4 8,0

Resolvendo, temos que:

V * = 1,8 - 1,0571 0,1429       0 0,3286 - 0,0714       - 0,8 0,8571 - 0,1429       - 0,6 0,5286 - 0,0714       0,6 - 0,6571 0,1429 4,0 4,4 5,2 6,4 8,0

V * = 4 - 0,2 0,2

Portanto nossa curva quadrática será:

s t = 4 - 0,2 t + 0,2 t 2

Aplicando a t = 12 , temos:

s 12 = 4 - 0,2 12 + 0,2 12 2

s 12 = 30,4

Resposta

s 12 = 30,4

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