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Efetuar uma rotação nos eixos coorenados a fim de eliminar o termo em x y . Identificar a cônica e escrever sua equação no sistema x ' O y ' obtido após a rotação. Esboçar o gráfico.

3 x 2 + 2 x y + 3 y 2 - 4 = 0

Passo 1

Vamos resolver pelo método dos invariantes. Vamos dar mais uma olhada em como se faz esse método. Vou repetir mais uma vez! É assim: a equação completa da cônica é:

A x 2 + B x y + C y 2 + D x + E y + F = 0

Quando a gente fizer a rotação da cônica, o termo em B vai sumir. A gente chama de invariantes porque tem algumas expressões que não mudam o valor, nem quando a gente roda a cônica. São eles:

A ' + C ' = A + C A ' - C ' = B s e n 2 θ B ' 2 - 4 A ' C ' = B 2 - 4 A C F ' = F

Essas letras, A ' , B ' , C ' e F ' serão os coeficientes da equação da cônica, já desrotacionada. Repara no seguinte: B ' = 0 , já que estamos com a cônica desrotacionada. Tem que saber também que esse θ da segunda equação é o ângulo de rotação da cônica, que a gente calcula como:

t g 2 θ = B A - C

Se por acaso A = C , a tangente vai tender ao infinito. Isso quer dizer que 2 θ = 90 ° , e aí o ângulo de rotação θ = 45 ° . Beleza, já relembramos tudo, agora vamos resolver essa parada.

Passo 2

A equação da nossa cônica é:

3 x 2 + 2 x y + 3 y 2 - 4 = 0

Comparando com a equação completa da cônica, a gente tem:

A = 3

B = 2

C = 3

D = E = 0

F = - 4

Vamos encontrar o ângulo de rotação:

t g 2 θ = 2 3 - 3

Essa tangente aí não pode não, Arnaldo! Essa parada de dividir por zero não existe Esse é o caso que eu falei! Essa é a rotação que tem A e C iguais, então o ângulo de rotação é 45 ° , e aí s e n 2 θ = 1 .

Passo 3

Show, já temos tudo que precisávamos! Vamos ver os invariantes.

A ' + C ' = 3 + 3 = 6 A ' - C ' = 2 1 = 2 F ' = - 4

Resolvendo o sistema das duas primeiras linhas, vamos encontrar A ' = 4 e C ' = 2 . Beleza, então já sabemos a equação da cônica no sistema x ' O y ' !

4 x ' 2 + 2 y ' 2 - 4 = 0

Dividindo tudo por 4 e passando o termo independente pro outro lado:

x ' 2 + y ' 2 2 = 1

Essa equação representa uma elipse!

Passo 4

Fazendo o esboço delas:

Resposta

x ' 2 + y ' 2 2 = 1

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