Enunciado

Embora não exista o produto vetorial de dois vetores em R n , para n > 3 , podemos definir o produto vetorial de n - 1 vetores, V 1 = v 11 , … , v 1 n , … v n - 1 = ( v n - 1 1 , … , v n - 1 n como

V 1   x   V 2 x … x   V n - 1 = - 1 n + 1 det ⁡ v i j i ≠ j , - 1 n + 2 det ⁡ v i j j ≠ 2 , … , - 1 2 n det ⁡ v i j j ≠ n .

Mostre que:

b) α V 1   x   V 2   x … x   V n - 1 = V 1   x …   α V i x … x   V n - 1 .

Passo 1

Fala aiii meus lindos tudo blz? espero que sim

Então se liga só nessa questão do livro de álgebra linear do Reginaldo Santos embora não exista o produto vetorial de dois vetores em R n , para n > 3 , podemos definir o produto vetorial de n - 1 vetores, V 1 = v 11 , … , v 1 n , … v n - 1 = ( v n - 1 1 , … , v n - 1 n ) como

V 1   x   V 2 x … x   V n - 1 = - 1 n + 1 det ⁡ v i j i ≠ j , - 1 n + 2 det ⁡ v i j j ≠ 2 , … , - 1 2 n det ⁡ v i j j ≠ n .

Mostre que:

b) α V 1   x   V 2   x … x   V n - 1 = V 1   x …   α V i x … x   V n - 1 .

Precisa ficar assim não meus abençoados conforme você for vendo os passos vai perceber que ela é de boa.

Passo 2

Sabendo que,

V 1 = v 11 , … , v 1 n , … v n - 1 = ( v n - 1 1 , … , v n - 1 n )

Definido por,

V 1   x   V 2 x … x   V n - 1 = - 1 n + 1 det ⁡ v i j i ≠ j , - 1 n + 2 det ⁡ v i j j ≠ 2 , … , - 1 2 n det ⁡ v i j j ≠ n .

Para mostrar que,

α V 1   x   V 2   x … x   V n - 1 = V 1   x …   α V i x … x   V n - 1

Temos que para { V 1 , … , V k } ser base de um subespaço em w   d e   R n , vamos ter que,

V 1 , … ,   V j     p a r a   j = 1 ,   … , k

Ficando,

v 11 , … , v 1 n = ( v m - 1 1 , … ,   v n - 1 n

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

v 11 , … , v 1 n = ( v m - 1 1 , … ,   v n - 1 n

Exercícios de Livros Relacionados

Mostre que todo subespaço W de R n é o espaço solução de um sistema linear homogêneo. (Sugestão: seja { W 1 ,. . ., W k } uma base W ⊥ tome A = [ W 1. . .W k ] t .)
Mostre que o ângulo entre dois vetores não nulos X = ( x 1 ,. . .,x n ) e Y = ( y 1 ,. . .,y n ) de R n , que é definido como sendo o número real θ entre 0 e π tal que: c o s ( θ ) = X ⋅ Y | | X | | |
Encontre um subconjunto com o maior número possível de vetores ortonormais no subespaço dos vetores ( a , b , c , d ) ∈ R 4 tais que a - b - 2 c + d = 0 .
Use o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt para encontrar uma base ortonormal para o subespaço de R 4 que tem como base { ( 1,1 , - 1,0 ) , ( 0,2 , 0,1 ) , ( - 1,0 , 0,1 ) } .
Seja S = { W 1 ,. . . ,W k } uma base ortogonal de um subespaço W de R n . Mostre que todo vetor V de W pode ser escrito como V = V ⋅ W 1 | | W 1 | | 2 W 1 + V ⋅ W 2 | | W 2 | | 2 W 2 +. . .+ V ⋅ W k