Enunciado

Mostre que todo subespaço W de R n é o espaço solução de um sistema linear homogêneo. (Sugestão: seja { W 1 ,   . . .   , W k } uma base W ⊥ tome A = [ W 1   . . .   W k ] t .)

Passo 1

Oiii, como vai? Tudo certinho?

A primeira coisa que precisamos aqui é relembrar o que significa ser solução de um espaço homogêneo! Significa que, vetores X ∈ W , são soluções para um equação do tipo:

A X = 0

em que A é uma matriz arbitrária. Vamos tentar usar a sugestão do enunciado, beleza?

Passo 2

Se tivermos que { W 1 ,   . . .   ,   W k } é uma base de W ⊥ , ou seja, uma base do espaço ortogonal a W , que nos garante que qualquer vetor que pertença a W é ortogonal a qualquer vetor que pertença a W ⊥ , de acordo com a seguinte definição de ortogonalidade:

X ⋅ Y = 0

em que X ∈ W e Y ∈ W ⊥ . Agora, ainda na sugestão do enunciado, vamos tomar um matriz A com o seguinte formato:

A = [ W 1 ,   . . .   ,   W k ] t

Ou seja, uma matriz em que as linhas são formadas pelos vetores que são base do espaço ortogonal W ⊥ . O que isso pode nos dizer?

Passo 3

Se temos um vetor qualquer X ∈ W , utilizando a matriz A estabelecida, temos:

[ W 1 ,   . . .   , W k ] t X = 0

Como X ∈ W , temos que o produto matricial acima é análogo à um produto escalar entre vetores ortogonais. Se lembrar do método de multiplicação de matrizes, se temos uma matriz quadrada k × k multiplica a uma matriz k × 1 , vamos obter uma matriz k × 1 (um vetor), em que as k componentes são obtidas multiplicando elemento a elemento da linha da primeira matriz, com a única coluna do vetor (primeiro vezes primeiro, segundo vezes segundo, e assim por diante) até que se forme um vetor em que o elemento 1 × 1 é formado pelo produto da primeira linha com a única coluna, e o elemento k × 1 é o produto da k-ésima linha com a única coluna, da mesma maneira para todos os valores intermediários. Tá bom, mas e daí?

Passo 4

A vantagem disso é que cada vez que multiplico uma linha pela coluna, eu tenho o seguinte produto escalar:

W i ⋅ W ⊥ j = 0

Ou seja, o subespaço W é solução de um sistema linear homogêneo. A questão foi isso, te vejo na próxima! Tchauzinho!

Resposta

Ao longo dos passos.

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