Enunciado

Encontrar uma base e uma dimensão do espaço-solução do sistema:

x + 2 y - 2 z - t = 0 2 x + 4 y + z + t = 0 x + 2 y + 3 z + 2 t = 0

Passo 1

Vamos isolar a variável x na primeira equação:

x =   - 2 y + 2 z + t

Agora a gente substitui isso na segunda equação:

- 4 y + 4 z + 2 t + 4 y + z + t = 0

5 z = - 3 t

z = - 3 t 5

Agora vamos substituir esse valor na de cima:

x = - 2 y - 6 5 t + t

x =   - 2 y - t 5

Vamos verificar se esses valores satisfazem a equação restante...

- 2 y - t 5 + 2 y - 9 t 5 + 2 t = 0

0 = 0   ( o k )

Passo 2

Então, nosso subespaço pode ser escrito da forma:

x , y , z , y - 2 y - t 5 ,   y ,   - 3 5 t ,   t }  

Como são duas variáveis, a dimensão é 2.

Uma base pode ser:

B = - 2,1 , 0,0 ,   - 1 5 ,   0 , - 3 5 ,   1

Obs: A base varia de acordo com a variável isolada, essa é só uma das possibilidades.

Resposta

D i m = 2

B = - 2,1 , 0,0 ,   - 1 5 ,   0 , - 3 5 ,   1

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