Enunciado

Encontrar equações paramétricas da reta que passa por A 3,6 , 4 , intercepta o eixo O z e é paralela ao plano π : x - 3 y + 5 z - 6 = 0 .

Passo 1

Vamos lá, primeiro vamos ver como é o formato das equações paramétricas da reta:

x = x 1 + a t y = y 1 + b t z = z 1 + c t

Aqui temos que o ponto A x 1 , y 1 , z 1 é um ponto que passa pela reta e v → = a , b , c um vetor direção da reta.

Aqui podemos achar o ponto A bem simples, é só usar o ponto A 3,6 , 4 , já que a reta passa por ele:

x = x 1 + a t y = y 1 + b t z = z 1 + c t → x = 3 + a t y = 6 + b t z = 4 + c t

Passo 2

Agora precisamos então encontrar os valores a , b e c do vetor diretor v → = a , b , c da reta, vamos encontrar usando a informação do eixo O z , como a reta intercepta o eixo O z temos então outro ponto da reta:

B = 0,0 , z

Assim podemos usar esses dois pontos para encontrar o vetor diretor da reta v → = a , b , c :

v → = A B → = B - A = 0,0 , z - 3,6 , 4 = 0 - 3,0 - 6 , z - 4 = - 3 , - 6 , z - 4

E como a reta é paralela ao plano π , o vetor diretor da reta é ortogonal ao vetor normal n → = 1 , - 3,5 do plano π , assim temos que o produto escalar deles dois deve ser igual a zero, vamos então calcular:

v → ⋅ n → = 0 → - 3 , - 6 , z - 4 ⋅ 1 , - 3,5 = 0 → - 3 ⋅ 1 - 6 ⋅ - 3 + z - 4 ⋅ 5 = 0 →

→ - 3 + 18 + 5 z - 20 = 0 → 5 z - 5 = 0 → 5 z = 5 → z = 1

Pronto, temos então que o vetor diretor da reta é:

v → = - 3 , - 6 , 1 - 4 = - 3 , - 6 , - 3

Passo 3

Agora é só substituir na equação da reta:

x = 3 + a t y = 6 + b t z = 4 + c t → x = 3 - 3 t y = 6 - 6 t z = 4 - 3 t

Pronto, temos que as equações paramétricas da reta que passa por A e intercepta o eixo O z e é paralela ao plano π é:

x = 3 - 3 t y = 6 - 6 t z = 4 - 3 t

Resposta

x = 3 - 3 t y = 6 - 6 t z = 4 - 3 t

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