Enunciado

Encontrar os vetores unitários paralelos ao plano y O z e que são ortogonais ao vetor v → = 4 ,   1 ,   - 2 .

Passo 1

Então galera, vamos considerar que o vetor que queremos tenha componentes do tipo:

γ → = x ,   y ,   z

De acordo com o enunciado, o vetor é paralelo ao plano y O z , certo? Sendo assim, temos que a componente x é nula, ou seja, x = 0 . Show! Além disso, a questão nos diz que o vetor γ → é ortogonal ao vetor v → , mas isso nos ajuda de que forma? De acordo com o que estudamos no capítulo em questão do Winterle, temos que o produto escalar entre dois vetores é dado da seguinte forma:

u → ∙ v → = u → ∙ v → cos ⁡ θ

No qual cos ⁡ θ é o ângulo entre os dois vetores. Quando os vetores são ortogonais, isso significa que o ângulo entre eles é de 90 ° e cos ⁡ 90 ° = 0 , então temos o seguinte:

u → ∙ v → = 0

Então, para a nossa questão, temos que:

γ → ∙ v → = 0

Então bora que bora destrinchar esse produto aí!

Passo 2

Realizando esse produto vetorial, teremos:

γ → ∙ v → = 0

0 ,   y ,   z ∙ 4 ,   1 ,   - 2 = 0

0.4 + y . 1 - z . 2 = 0

y - 2 z = 0

Show! Essa é a primeira equaçãozinha que encontramos! Como já encontramos o valor de x , precisamos de uma outra equação em termos de y e z para criarmos um sisteminha a fim de encontrar essas incógnitas, ok? Massa!

O enunciado nos diz que o vetor é unitário, logo:

γ → = 1

Ou seja:

x 2 + y 2 + z 2 = 1 2

Como x = 0 :

y 2 + z 2 = 1

Logo, encontramos outra equação em termos de y e z , então temos o seguinte sistema para resolver:

y - 2 z = 0 y 2 + z 2 = 1

Vamo que vamo!

Passo 3

Da primeira equação conseguimos fazer:

y - 2 z = 0

y = 2 z

Substituindo na segunda equação:

y 2 + z 2 = 1

2 z 2 + z 2 = 1

5 z 2 = 1

∴ z = ± 1 5

Que implica nos seguintes valores para y :

y = ± 2 5

Sendo assim, os nossos dois vetores unitários são:

γ → = 0 , 2 5 , 1 5

Ou:

γ → = 0 ,   - 2 5 , - 1 5

E essa é a nossa resolução, pessoal! 😉

Resposta

γ → = 0 , 2 5 , 1 5 ou γ → = 0 ,   - 2 5 , - 1 5

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Determinar, aproximadamente, o ângulo entre os pares de vetores:b)u → = ( 1 , - 1 ) e v → - ( - 4 , - 2 )
Dado os vetores u → = i → - j → e v → = 2 i → + j → , determinar o modulo e o ângulo que os seguintes vetores formam com o vetor i → d) u → - v →
Determinar, aproximadamente, o ângulo entre os pares de vetores:c) u → = ( 1,1 ) e v → = ( - 1,1 )
Dado os vetores u → = i → - j → e v → = 2 i → + j → , determinar o modulo e o ângulo que os seguintes vetores formam com o vetor i → c) u → + v →
Determinar o valor de k para que os vetores u → = ( - 2,3 ) e v → = ( k , - 4 ) sejam:b) ortogonais