Enunciado

No Exercício 1, encontre uma decomposição em valores singulares reduzida de A.

A = - 2 2 - 1 1 2 - 2

Passo 1

O primeiro passo é encontrar os autovalores da matriz

A T A = - 2 - 1 2 2 1 - 2 - 2 2 - 1 1 2 - 2 = 9 - 9 9 9

O polinômio característico de A T A será,

λ 2 - 1 8 λ = 0

De modo que λ 1 = 18 e λ 2 = 0 , são aos seus autovalores

Passo 2

Devemos agora encontrar os valores singulares de A, que em ordem decrescente de tamanho são,

σ 1 = 18 = 3 2

σ 2 = 0 = 0

Passo 3

Próximo passo é encontrar os autovetores associados a cada um dos autovalores, utilizando as formas que já aprendemos anteriormente,

Autovetores associados a λ 1 = 18 :     - 1 1 ;

Autovetores associados a λ 2 = 0 :   1 1 ;

Passo 4

Agora vamos normalizar os autovetores que encontramos,

Para - 1 1 , seu tamanho será igual a l = ( - 1 ) 2 + 1 2 = 1,4142

Normalizando o vetor, teremos que v 1 = - 1 1,4142 1 1,4142 =   - 0,7071 0,7071  

Para 1 1 , seu tamanho será igual a l = 1 2 + 1 2 = 1,4142

Normalizando o vetor, teremos que v 2 = 1 1,4142 1 1,4142 = 0,7071 0,7071

Passo 5

Agora, só nos resta escrever as matrizes da decomposição em valores singulares de A, ou seja,

A = U Σ V T

Sendo,

Σ = σ 1 0 0 σ 2 0 0 =   3 2 0 0 0 0 0

V = v 1 ,   v 2 = - 0,7071 0,7071 0,7071 0,7071

U = 0,6667 0,7071 - 0,2357 0,3333 0 0,9428 - 0,6667 0,7071 0,2357

Resposta

Para finalizar a questão, devemos apenas escrever na forma reduzida. Sabendo que a matriz A tem posto igual a 1, dizemos que k = 1 , com isso a forma reduzida será,

- 2 2 - 1 1 2 - 2 = 0,6667 0,3333 - 0,6667 3 2 0 - 0,7071 0,7071

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