Enunciado

No Exercício 3, encontre uma decomposição em valores singulares reduzida de A.

A = 1 0 1 1 - 1 1

Passo 1

O primeiro passo é encontrar os autovalores da matriz

A T A = 1 1 - 1 0 1 1 1 0 1 1 - 1 1 = 3 0 0 2

O polinômio característico de A T A será,

λ 2 - 5 λ + 6 = 0

De modo que λ 1 = 3 e λ 2 = 2 , são aos seus autovalores

Passo 2

Devemos agora encontrar os valores singulares de A, que em ordem decrescente de tamanho são,

σ 1 = 3

σ 2 = 2

Passo 3

Próximo passo é encontrar os autovetores associados a cada um dos autovalores, utilizando as formas que já aprendemos anteriormente,

Autovetores associados a λ 1 = 3 :     1 0 ;

Autovetores associados a λ 2 = 2 :   0 1 ;

Passo 4

Agora vamos normalizar os autovetores que encontramos,

Para 1 0 , seu tamanho será igual a l = 1 2 + 0 2 = 1

Normalizando o vetor, teremos que v 1 =   1 0  

Para 0 1 , seu tamanho será igual a l = 1 2 + 0 2 = 1

Normalizando o vetor, teremos que v 2 = 0 1

Passo 5

Agora, só nos resta escrever as matrizes da decomposição em valores singulares de A, ou seja,

A = U Σ V T

Sendo,

Σ = σ 1 0 0 σ 2 0 0 =   3 0 0 2 0 0

V = v 1 ,   v 2 = 1 0 0 1

U = 0,5774 0 0,8165 0,5774 0,7071 - 0,4082 - 0,5774 0,7071 0,4082

Resposta

Para finalizar a questão, devemos apenas escrever na forma reduzida. Sabendo que a matriz A tem posto igual a 2, dizemos que k = 2 , com isso a forma reduzida será,

1 0 1 1 - 1 1 = 0,5774 0 0,5774 0,7071 - 0,5774 0,7071 3 0 0 2 1 0 0 1

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