Enunciado

10. Supondo que b ≠ 0 , encontre uma matriz que diagonaliza ortogonalmente a matriz.

A = a b b a

Passo 1

Para achar a matriz P vamos calcular os autovalores e autovetores.

A u t o v a l o r e s   ( λ ) :   A - λ I = 0

A u t o v e t o r e s   ( v ) :   A - λ I v = 0

Passo 2

Primeiro vamos fazer o autovalor:

  A - λ I = 0

λ I = 1 0 0 1 ∙ λ

λ I = 1 ∙ λ 0 ∙ λ 0 ∙ λ 1 ∙ λ

λ I = λ 0 0 λ

Passo 3

Retornando para:

λ I - A = 0

Substituindo os valores:

λ I - A = λ 0 0 λ - a b b a

Reescrevendo:

λ I - A = λ - a - b - b λ - a

Então, temos:

λ - a - b - b λ - a = 0

Calculando o determinante, lembrando que para uma matriz 2 × 2 , multiplicamos os elementos da diagonal principal e subtraímos do resultado da multiplicação dos elementos da diagonal secundária.

λ - a ∙ λ - a - b 2 = 0

Passo 4

Determinando os autoespaços:

Para descobrir λ , é mais fácil reescrever a equação:

λ - a 2 - b 2 = 0

Somando b 2 em ambos os lados:

λ - a 2 = b 2

λ - a = ± b

Isolando λ :

λ = ± b + a

λ 1 = a - b

λ 2 = a + b

Passo 5

Determinando os autovetores:

A - λ I v = 0

Onde:

v = x y

Logo:

A - λ I ∙ x y = 0

Como já temos A - λ I :

λ - a - b - b λ - a ∙ x y = 0

Vamos substituir os valores encontrados dos autovalores para determinar v .

Passo 6

Para λ 1 = a - b :

a - b - a - b - b a - b - a ∙ x y = 0

- b - b - b - b ∙ x y = 0

Montando em forma de sistema, temos:

- b x - b y = 0 - b x - b y = 0

Temos que:

- b x - b y = 0

- b x = b y

x = - b y b

x = - y

Escrevendo:

v = x y

v 1 = - y y

Colocando y em evidência, temos:

v 1 = y ∙ - 1 1

Temos que o valor de autovetor é:

v 1 = - 1 1

Passo 7

Para λ 2 = a + b :

a + b - a - b - b a + b - a ∙ x y = 0

b - b - b b ∙ x y = 0

Montando em forma de sistema, temos:

b x - b y = 0 - b x + b y = 0

Temos que:

b x - b y = 0

b x = b y

x = b y b

x = y

Escrevendo:

v = x y

v 2 = y y

Colocando y em evidência, temos:

v 2 = y ∙ 1 1

Temos que o valor de autovetor é:

v 2 = 1 1

Passo 8

Agora vamos normalizar os autovetores:

u 1 = v 1 v 1

u 1 = 1 - 1 2 + 1 2 ∙ - 1 1

u 1 = 1 1 + 1 ∙ - 1 1

u 1 = 1 2 ∙ - 1 1

u 1 = - 1 2 1 2

u 2 = v 2 v 2

u 2 = 1 1 2 + 1 2 ∙ 1 1

u 2 = 1 2 ∙ 1 1

u 2 = 1 2 1 2

Passo 9

Para escrever P , colocamos os autovetores normalizados que diagonaliza A ortogonalmente em colunas:

P = - 1 2 1 2 1 2 1 2

Resposta

P = - 1 2 1 2 1 2 1 2

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